金字塔

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有一棵有根树，第i个点上带有字符\(c_i\)，现在给出这个树关于其字符的dfs序s，现在求这棵树的方案数，dfs序长度n不超过300.

解

实际上dfs序本身具有区间性，因此可以考虑区间dp，于是设\(dp[i][j]\)表示dfs序的区间\([i,j]\)的一棵有根树的方案数，考虑dfs序的性质，必然该树的根节点把序列划分成了几棵子树，于是我们可以枚举根节点的位置，但是时间复杂度太高。

如果按照常用思路考虑把区间划分成两个部分，每个部分包含若干个子树，这样显然会有重复部分被计算，原因在于新枚举的区间包含了旧区间的方案，因此要设法独立两者。

因此考虑枚举其中第一棵子树的区间，剩下的子树连同根节点组成一棵树，这样就不会存在重复，于是我们有

\[dp[i][j]=\sum_{k=i+2}^jdp[i+1][k-1]\times dp[k][j] \]

边界：\(dp[i][i]=1,i=1,2,3.,,,n\)，其余为0

答案：\(dp[1][n]\)

参考代码：

阶段实现：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define il inline
#define ri register
#define ll long long
#define yyb 1000000000
using namespace std;
string s;
ll dp[301][301];
int main(){
    cin>>s;
    for(int i(1);i<=s.size();++i)dp[i][i]=1;
    for(int i,j(1),k;j<=s.size();++j)
        for(i=j-1;i;--i){
            if(s[i-1]!=s[j-1])continue;
            for(k=i;k<=j;++k){
                if(s[i-1]!=s[k-1])continue;
                dp[i][j]+=dp[i+1][k-1]*dp[k][j]%yyb;
            }dp[i][j]%=yyb;
        }
    printf("%lld",dp[1][s.size()]);
    return 0;
}

dfs实现：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define il inline
#define ri register
#define ll long long
#define yyb 1000000000
using namespace std;
string s;
bool deal[301][301];
int dp[301][301];
il int dfs(int,int);
int main(){
    cin>>s,printf("%d",dfs(1,s.size()));
    return 0;
}
il int dfs(int l,int r){
    if(l==r)return 1;
    if(deal[l][r])return dp[l][r];
    if(s[l-1]!=s[r-1])return 0;
    for(int k(l+2);k<=r;++k)
        if(s[k-1]==s[l-1])
            (dp[l][r]+=(ll)dfs(l+1,k-1)*dfs(k,r)%yyb)%=yyb;
    return deal[l][r]|=true,dp[l][r];
}