博弈论小结
前言
本人其实博弈论也学得不咋的，不少蜻蜓点水，并没有深入地研究，而且知识可以说是大部分抄的书上，但是也特作此文以便自己复习和方便各位神犇。
异或
概念
符号：\(\wedge,xor\)
运算法则：对应二进制位下相异为1,相同为0.
异或和：一堆数的异或起来的值,如\(\{x_1,x_2,..,x_n\}\)的异或和为\(x_1\wedge x_2\wedge ...\wedge x_n=\wedge_{i=1}^n x_i\)。
异或和图的性质
- 你可以凭空到达任意一个位置
- 环等同于异或空间
- 链可以由环更改路径
性质
- 交换律 \(a\wedge b=b\wedge a\)
- 结合律 \(a\wedge b\wedge c=a\wedge (b\wedge c)\)
- \(a=b\Longleftrightarrow a\wedge c=b\wedge c\)
1.推论： 不同的数异或同一个数得到结果不同 - 不进位的加法
- 异或可以与加法减法对应
线性基
性质：
- 线性基由原序列的一些数构成
- 异或和为0即线性基无法加入该数（应用：异或和为0的判断）
- 异或空间为2的线性基个数的次方，多次异或没有意义
- 有n个 不同的 数，设线性基个数k，每个数重复\(2^{n-k}\)次。
证明：
对于k个基，剩下的n-k个数每个数与基所产生的数进行异或，必然值各不相同,所以必然每个值重复一次，于是总的来说重复\(2^{n-k}\)次。
Nim博弈
基础概念
局面
游戏过程中面临的状态。
先手
游戏中第一个行动者。
后手
游戏中第二个行动者。
必败
在某一局面无论采取什么行动，都会输掉游戏，则称该局面必败。
必胜
在某一局面能采取某种行动，使对手面临必败局面，则称该局面必胜。
Nim博弈
有n堆棋子，第i堆棋子有\(a_i\)颗棋子，对战双方轮流从任意一堆棋子取出任意颗棋子，不能取棋子或不取棋子者失败，问先手是否必胜。
- 注：Nim博弈不存在平局，双方都将采取最优策略，只有先手必胜和必败两种情况。
Nim定理
Nim博弈中，先手必胜当且仅当\(a_1\wedge a_2\wedge...\wedge a_n=\wedge_{i=1}^na_i\neq 0\)。
证明：
博弈论中经常使用数学归纳法证明结论。
考虑边界，没有任何棋子，显然异或和为0。
对于异或和不为0的局面，设\(x=\wedge_{i=1}^na_i\),对于它的最高位考虑，设其为第k位，显然存在一个数\(a_i\)满足其第k位上有1,而令\(a_i\wedge=x\),显然接下来的局面异或和为0,而必然\(a_i\)也变小了，因为它损失了较高的一位上的1，于是因为异或可以和减法对应，我们可以减与异或对应，因此，任何一个异或和不为0的局面都可以将其变为0的局面。
对于异或和为0的局面，显然无论如何选取，必然下一个局面异或和不为0，因为减可以相当与异或一个数,0异或一个数就是该数。
总上所诉，当先手在局面异或和不为0的情况下，不妨把异或和不为0的局面记做Q,异或和为0记做q，于是不难得知，接下来的局面发展先手可以做到是\(QqQqQq...q\)，所以后手必然面临必败局面。
同理，当先手异或和为0,接下来的局势发展，后手可以做到\(qQqQ...Q\),此时先手必然面临必败局面。
于是得证。
公平组合游戏(ICG)
ICG定义
若一个游戏满足
- 由两名玩家交替行动。
- 在游戏进程的任意时刻，可以执行的合法行动与轮到哪名玩家无关。
- 不能行动的玩家判负。
则称该游戏为公平组合游戏。
解决办法
有向图游戏
定义
给定一个有向无环图(DAG)(具有可递推性)，图中有唯一一个起点，在起点上放有一枚棋子，两名玩家交替地把这枚棋子沿有向边移动，每次可以移动一步，无法移动者判负，该游戏被称为有向图游戏
性质
任何一个公平组合游戏，都可以被看作有向图游戏。
Mex运算
定义
设S为非负整数集合，定义Mex(S)为求出不属于集合S的最小非负整数的运算，即
性质
- 暴力求时间复杂度\(O(n)\)
- 如果\(Mex(S)=x\)，则集合中必然有\(1-x-1\)的数。
SG函数
定义
在有向图游戏中，对于每个节点x，设从x出发有k条有向边，分别到达节点\(y_1,y_2,...,y_k\),定义\(SG(x)\)为x的后继节点的SG函数值构成的集合进行Mex运算后的结果，即
特别地，整个有向图游戏G的SG函数值被定义为有向图游戏起点S的SG函数值，即\(SG(G)=SG(S)\)。
另外对于失败局面的SG函数值定义为0.
有向图游戏的和
设\(G_1,G=2,...,G_m\)是m个有向图游戏，定义有向图游戏G，它的行动规则是任选某个有向图\(G_i\)，并在\(G_i\)上行动一步，则G被称为有向图游戏的和。
有向图游戏和的SG函数值被定义为各个子游戏的SG函数值的异或和，即
SG定理
定理1
- 有向图游戏的某个局面必胜，当且仅当该局面对应的节点的SG函数值大于0.
- 有向图游戏的某个局面必败，当且仅当该局面对应的节点的SG函数值等于0.
证明：
对于边界考虑，显然末局面即失败的局面，SG函数值为0。
而对于SG函数值不为0的局面，显然它的后继节点存在SG函数值为0的局面，于是对于任意一个SG函数值不为0的局面，都可以到达一个SG函数值为0的局面。
而对于SG函数值为0的局面，显然它的后继节点不可能存在SG函数值为0的局面。于是对于任意一个SG函数值为0的局面，只能到达SG函数值不为0的局面。
总上有，当该局面SG函数值不为0,记不为0局面为\(Q\)，为0局面\(Q\),接下来的局面先手一定可以这样发展\(QqQqQq...q\),使后手面临必败局面。
当该局面的SG函数值为0,后手必然可以使局面按\(qQqQ...q\)发展，而先手必然面临必败局面。
所以得证。
定理2
多个有向图游戏组成的游戏\(\{G_i,n\}\)必胜，当且仅当有向图游戏的和的SG函数值不为0.
证明：
对于末局面，显然有向图游戏的和SG函数值为0。
对于有向图游戏和SG函数值不为0的局面，记\(x=\wedge_{i=1}^nSG(G_i)\),记最高位为第k位，必然有一个\(SG(G_i)\)满足其第k位不为0,而因为Mex操作的性质和异或与减法的对应，令\(SG(G_i)\wedge=x\),我们必然可以将其变为小于\(SG(G_i)\),且接下来的局面有向图游戏的异或和为0.
对于有向图游戏和SG函数值为0的局面，不论怎样操作，必然下一个局面不为0.
于是，对于有向图游戏和SG函数值不为0的局面，记不为0\(Q\),为0\(q\)，先手必然可以按照\(QqQq...q\)发展，使后手必败，同理，为0的局面，后手也可以按照\(qQ...Q\)发展，于是先手必败。
故得证。
理解
Nim游戏
其实Nim游戏就是特殊的公平组合游戏（ICG），自然也可以利用公平组合游戏证明，它是多个有向图游戏组成的游戏，末状态一定每个子游戏是全部面临必败局面。
证明：
在Nim游戏中，对于一个子图而言，即有多少枚棋子，不妨有i枚棋子记做\(i\),于是它的SG函数值记做\(SG(i)\)
对于初始状态，即必败局面，必然\(SG(0)=0\),设\(SG(0)=0,SG(1)=1,...,SG(i-1)=i-1\),设\(SG(i)\)它所算出用的集合为\(\{SG(0),SG(1),...,SG(i-1)\}\),即\(\{0,1,2,...,i-1\}\),不难得知结果为i，于是根据数学归纳法\(SG(i)=i\)。
根据ICG定理2,公平组合游戏的和为\(\wedge_{i=1}^n SG(a_i)=\wedge_{i=1}^n a_i)\)，故得证。
套路小结
异或
定位：博弈论中结论常联系的地方
思考方向：
- 最高位
博弈论证明
- 数学归纳法
- 反证法
问题转化办法
- 阶梯博弈，捆绑法
习题
新新Nim游戏
有k组棋子，每组棋子有若干堆棋子，给出\(a[i][j]\)，表示第i组棋子第j堆棋子的棋子个数，两名玩家轮流行动，每次操作可以可以选择一组中的一堆棋子拿走任意多颗棋子，不能行动的玩家失败，询问先手是否必胜，\(\sum_{i=1}^k|a[i]|\leq 10^8\)。
勇士
给出一个\(n\times m\)的网格图，有些位置存在障碍物，显然坐标已经给出，有一个棋子放在位置\((1,1)\)，两名玩家轮流操作，每次可以选择棋子向下移动或者向右移动，不能移动的玩家判负，询问先手是否必胜，\(n\times m\leq 10^8\)。
尾声
笔者本来以为自己能很轻松学会博弈论，结果到现在还是没有真正学会，可能会因此面临\(AFO\)，但是所留下来的学习资源，希望能让读者走的更远。
