奇怪的背包
有一个背包，有一个模数P,有n件物品，第i件物品体积为\(v_i\)，物品可以无限取用，最后背包的体积为总体积\(mod\ p\)，q组询问，第i个询问背包最终体积为\(w_i\)的方案数，两个方案数的不同不在于物品的放的个数，而在于物品是否取用。
\(n,q\leq 10^6,p\leq 10^9\)
解
显然物品的取用的次数没有关系，那么关键在于物品是否取用，以及它能到达的背包体积，于是对于一件物品不难写出式子
\[kv_i=z(mod\ p)
\]
k为取用的个数，z为得到的背包体积，于是由bezaut定理得知，它能所取用的背包的体积一定为\(gcd(p,v_i)\)的倍数，而同理推广多个数自然为
\(gcd(v_1,v_2,...,v_n,p)\)的倍数。
于是把各个\(gcd(p,v_i)\)维护为\(d[i]\),个数为\(s[j]\)，显然只有p的约数个数种,所以不难得知我们应设递推方程\(f[i][j]\)表示选到第i件物品，现在最大公约数为\(d[j]\)的方案数,现在暂时把n改成p的约数个数，所以又不难有
\[f[i][j]=f[i-1][j]+\sum_{k=1}^nf[i-1][k]\times (gcd(d[k],d[i])==d[j])(2^{s[i]-1})
\]
以此可以转移，于是对于询问我们的答案统计为
\[ans=\sum_{j=1}^nf[j][w_i]
\]
注意到我们不能每次\(\sqrt{p}\)回答询问，于是我们设法维护出结果，\(O(1)\)回答，显然暴力维护只有p的约数个数平方。
参考代码：
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define il inline
#define ri register
#define ll long long
#define yyb 1000000007
#define _ putchar('\n')
#define swap(x,y) x^=y^=x^=y
using namespace std;
ll lsy,d[5000],dt,s[5000],cjx,
bin[1000001],dp[2][5000],ask[5000];
il void fact(ll);
il int dfs(ll);
il ll gcd(ll,ll);
template<class free>void pen(free);
template<class free>il void read(free&);
int main(){
int n,q,i,j;bool now(false);
read(n),read(q),read(lsy),fact(lsy);
for(i=bin[0]=1;i<=n;++i)read(cjx),++s[dfs(gcd(lsy,cjx))],
bin[i]=(bin[i-1]<<1)%yyb;
for(i=1;i<=dt;++i)s[i]=(bin[s[i]]+yyb-1)%yyb;
for(i=1;i<=dt;++i,now^=1){
dp[now][i]=s[i];
for(j=1;j<=dt;++j)
dp[now^1][j]=dp[now][j],
(dp[now^1][dfs(gcd(d[i+1],d[j]))]+=dp[now][j]*s[i+1])%=yyb;
}
for(i=1;i<=dt;++i)
for(j=1;j<=i;++j)
if(!(d[i]%d[j]))(ask[i]+=dp[now][j])%=yyb;
while(q--)read(cjx),pen(ask[dfs(gcd(cjx,lsy))]),_;
return 0;
}
il int dfs(ll x){
int l(1),r(dt),mid;
while(l<=r){
mid=l+r>>1;
if(d[mid]<x)l=mid+1;
else r=mid-1;
}return l;
}
il void fact(ll x){
ll i;
for(i=1;i*i<x;++i)
if(!(x%i))d[++dt]=i,d[++dt]=x/i;
if(i*i==x)d[++dt]=i;sort(d+1,d+dt+1);
}
template<class free>
void pen(free x){if(x>9)pen(x/10);putchar(x%10+48);}
il ll gcd(ll a,ll b){while(b)swap(a,b),b%=a;return a;}
template<class free>
il void read(free &x){
x&=0;ri char c;while(c=getchar(),c<'0'||c>'9');
while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
}
