单选错位

单选错位

有n道单选题，每道题备选项有\(a_i\)个，每个选项成为答案概率相等，当把n道单选题按编号1～n顺时针连成一个环，选的答案都是正确的，但是答案都顺时针向下移动一个，此时能选对答案的题目个数的期望，2≤n≤10000000, 0≤A,B,C,a1≤100000000。

解

数据范围已经告诉我们只能用\(O(n)\)，于是设\(f[n]\)表示前n题做对的期望，不难有

\[if(a_n>a_{n-1})f[n]=f[n-1]+\frac{a_{n-1}}{a_n}\times \frac{1}{a_{n-1}}=f[n-1]+\frac{1}{a_n} \]

\[if(a_n\leq a_{n-1})f[n]=f[n-1]+\frac{1}{a_{n-1}} \]

于是以此递推即可,注意最后接上环。

参考代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define il inline
#define ri register
using namespace std;
int a[10000001];
double dp[10000001];
int main(){
    int i,n,A,B,C;
    scanf("%d%d%d%d%d",&n,&A,&B,&C,a+1);
    for (i=2;i<=n;i++)
        a[i] = ((long long)a[i-1] * A + B) % 100000001;
    for (i=1;i<=n;i++)
        a[i] = a[i] % C + 1;
    if(a[n]>a[1])dp[1]=(double)1/a[n];
    else dp[1]=(double)1/a[1];
    for(i=2;i<=n;++i)
        if(a[i-1]>a[i])dp[i]=dp[i-1]+(double)1/a[i-1];
        else dp[i]=dp[i-1]+(double)1/a[i];printf("%.3lf",dp[n]);
    return 0;
}