01分数规划小结
基础知识
邻接矩阵与链式前向星
邻接矩阵:适用于要快速修改以及点密集的图
链式前向星：适用于需要快速查询与之相连点，且点稀疏的图。
最小生成树
prim加点法
正确性
prim将最小生成树分为两个部分，因为关键在于点，一个部分为已知的最小生成树构造，另外一个部分为未知的生成树，而加上两个部分最小的连边，同样能使两棵树联通，必然选择最短的边最好。
代码实现：
int dis[1001][1001];
int prim(){
int i,j,k,mst(0);
bool check[1001],mini[1001];
memset(mini,1,sizeof(mini)),mini[1]=0;
for(i=1;i<=n;++i){
for(k=0,j=1;j<=n;++j)
if(mini[k]>mini[j]&&!check[j])k=j;
check[k]|=true,mst+=mini[k];
for(j=1;j<=n;++j)
if(dis[k][j]<mini[j]&&!is[j])
mini[j]=dis[k][j];
}
return mst;
}
kruscal排序
正确性
kruscal将边从小到大排序，即变成n颗树，而最小生成树必然是由这些树所构成的，而对于最小生成树包含的两棵生成树，将两者联通，必然是选择所有未选的边可以将其联通的最小的边。
代码实现
struct edge{
int p1,p2,len;
il bool operator<(edge&x){
return len<x.len;
}
}e[1001];
struct union_find{
int father[2001];
il void clear(int n){
for(int i(1);i<=n;++i)father[i]=i;
}
il int find(int x){
if(father[x]==x)return x;
return father[x]=find(father[x]);
}
il void link(int x,int y){
father[find(x)]=find(y);
}
}u;int n,m;
il int kruscal(){
int i,mst(0);
sort(e+1,e+m+1),u.clear(n);
for(i=1;i<=m;++i)
if(u.find(e[i].p1)!=u.find(e[i].p2))
u.link(e[i].p1,e[i].p2),mst+=e[i].len;
return mst;
}
联系
思想
- 红蓝点
- 数学归纳集合关系（不看单个点关系，看树与树之间关系）
- 排序优化（最短最少一般可以排序）
- 反证法给予证明
适用范围
| 算法 | 范围 |
|---|---|
| prim | 点少边多 |
| kruscal | 点多边少 |
spfa判负环
前身
bellmanford
思想
蔓延（不断地更新必然能最小），而负环使之无限更新。
代码
bfs
struct point{
point*next;int to,len;
}*head[1001],*pt;
bool exist[1001];
int n,dis[1001],num[1001];
il bool check(){
memset(dis,0,sizeof(dis)),memset(num,0,sizeof(num)),
memset(exist,0,sizeof(exist));int i;
for(i=1;i<=n;++i)if(spfa(i))return true;
return false;
}
il bool spfa(int s){
queue<int>team;int i;
team.push(s),exist[s]|=true;
while(!team.empty()){
s=team.front(),team.pop(),exist[s]&=false;
for(pt=head[s];pt!=NULL;pt=pt->next)
if(dis[pt->to]>dis[s]+pt->len){
dis[pt->to]=dis[s]+pt->len;
if(!exist[pt->to]){
team.push(pt->to);
if(++num[pt->to]>n)return true;
}
}
}return false;
}
dfs
struct point{
point*next;int to,len;
}*head[1001],*pt;
bool exist[1001];
int n,dis[1001];
il bool check(){
memset(dis,0,sizeof(dis)),memset(exist,0,sizeof(exist));
for(int i(1);i<=n;++i)if(spfa(i))return true;
return false;
}
il bool spfa(int x){
exist[x]|=true;
for(point *i(head[x]);i!=NULL;i=i->next)
if(dis[i->to]>dis[x]+i->len){
dis[i->to]=dis[x]+i->len;
if(exist[i->to]||spfa(i->to))
return true;
}
return exist[x]&=false;
}
01分数规划
问题
给定\(\{a_i\}\{b_i\}\),求\(\{x_i\}(x_i=0\ or\ 1)\)使\(\frac{\sum_{i=1}^na_ix_i}{\sum_{i=1}^nb_ix_i}\)最大，
感性的理解，即有n对a，b，从中选出x对，使a之和除以b之和最大。
解
最大问题即最优化问题，目前算法已经有
- 递推
- 贪心（常用排序）
- 搜索
- 二分
- 迭代
而式子的问题常与二分扯上关系，于是我们来倒腾一下式子，设
注意到相同的x，于是考虑合并
不妨将这个式子叫做分数规划的二分式，注意到sigma最左边为一常数，于是考虑预处理，接着考虑如何在这个式子中取到最大，显然是选择所有的整数，此时如果
于是在我们所变出的式子中找到的最大值大于0的话，意思即存在更大的解可以满足条件，于是我们可以进行二分，这是一种方法。
但是注意到我们所选出来的式子也是一组比较大的解，于是可以让之作为端点，再以之为基础继续寻找最优解，无限接近答案，也就是迭代，这是另一种方法。
于是我们现在来考虑它们的区别
| 算法 | 优点 | 缺点 |
|---|---|---|
| 二分 | 只需要判断是否有更优解 | 漫无目的地去寻找答案 |
| 迭代 | 接近答案比二分会更加快 | 需要额外花时间算出解 |
于是我们可以得出结论，如果答案好算，当然迭代会快一些，否则二分会更好，两者互补，共同组成了分数规划这一知识点，接下来所有题目也是围绕他们俩展开的。
基本模型
最优比率生成树
问题
给出一张图，边权为\(\{a_i,b_i\}\),选出一棵生成树，使a之和除以b最小。
方法
- 写出分数式
- 对括号里的数作为边权跑最小生成树，以此作为判断依据
最优比率生成环
两个概念
环：起点和终点都为自己，且只有一条路径。
联通分量（环套环）：其中任意一个点都能到达其他所有点的路径。
意义：我们能够解决环的问题，而问题涉及联通分量，我们需要想办法转换。
问题
给出一张图，边权为\(\{a_i,b_i\}\),选出个强联通分量，使a之和除以b最小。
方法
- 写出分数式
- 对括号里的数作为边权跑spfa负环，以此作为判断依据
分数结论
分数三角不等式结论
\(a_1,b_1,a_2,b_2\in Z^*,\frac{a_1}{b_1}\geq\frac{a_2}{b_2}\Rightarrow \frac{a_2}{b_2}\leq\frac{a_1+a_2}{b_1+b_2}\leq \frac{a_1}{b_1}\)
证明：
同理，另一边也可以用同样的方式证明出来。
套路总结
基本
- 二分式正负随意，注意变换使之顺应问题。
- 要想分数规划一定要a，b对应
证明小结
- 常用反证法
- 比大小可以用作差法
