线段树学习
此题题意很好懂:
给你N个数,Q个操作,操作有两种,‘Q a b ’是询问a~b这段数的和,‘C a b c’是把a~b这段数都加上c。
需要用到线段树的,update:成段增减,query:区间求和
介绍Lazy思想:lazy-tag思想,记录每一个线段树节点的变化值,当这部分线段的一致性被破坏我们就将这个变化值传递给子区间,大大增加了线段树的效率。
在此通俗的解释我理解的Lazy意思,比如现在需要对[a,b]区间值进行加c操作,那么就从根节点[1,n]开始调用update函数进行操作,如果刚好执行到一个子节点,它的节点标记为rt,这时tree[rt].l == a && tree[rt].r == b 这时我们可以一步更新此时rt节点的sum[rt]的值,sum[rt] += c * (tree[rt].r - tree[rt].l + 1),注意关键的时刻来了,如果此时按照常规的线段树的update操作,这时候还应该更新rt子节点的sum[]值,而Lazy思想恰恰是暂时不更新rt子节点的sum[]值,到此就return,直到下次需要用到rt子节点的值的时候才去更新,这样避免许多可能无用的操作,从而节省时间 。
下面通过具体的代码来说明之。(此处的函数名和宏学习了小HH的代码风格)
在此先介绍下代码中的函数说明:
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
宏定义左儿子lson和右儿子rson,貌似用宏的速度要慢。
PushUp(rt):通过当前节点rt把值递归向上更新到根节点
PushDown(rt):通过当前节点rt递归向下去更新rt子节点的值
rt表示当前子树的根(root),也就是当前所在的结点
__int64 sum[N<<2],add[N<<2];
struct Node
{
int l,r;
int mid()
{
return (l+r)>>1;
}
} tree[N<<2];
这里定义数据结构sum用来存储每个节点的子节点数值的总和,add用来记录该节点的每个数值应该加多少
tree[].l tree[].r分别表示某个节点的左右区间,这里的区间是闭区间
下面直接来介绍update函数,Lazy操作主要就是用在这里
void update(int c,int l,int r,int rt)//表示对区间[l,r]内的每个数均加c,rt是根节点
{
if(tree[rt].l == l && r == tree[rt].r)
{
add[rt] += c;
sum[rt] += (__int64)c * (r-l+1);
return;
}
if(tree[rt].l == tree[rt].r) return;
PushDown(rt,tree[rt].r - tree[rt].l + 1);
int m = tree[rt].mid();
if(r <= m) update(c,l,r,rt<<1);
else if(l > m) update(c,l,r,rt<<1|1);
else
{
update(c,l,m,rt<<1);
update(c,m+1,r,rt<<1|1);
}
PushUp(rt);
}
if(tree[rt].l == l && r == tree[rt].r) 这里就是用到Lazy思想的关键时刻 正如上面说提到的,这里首先更新该节点的sum[rt]值,然后更新该节点具体每个数值应该加多少即add[rt]的值,注意此时整个函数就运行完了,直接return,而不是还继续向子节点继续更新,这里就是Lazy思想,暂时不更新子节点的值。
那么什么时候需要更新子节点的值呢?答案是在某部分update操作的时候需要用到那部分没有更新的节点的值的时候,这里可能有点绕口。这时就掉用PushDown()函数更新子节点的数值。
void PushDown(int rt,int m)
{
if(add[rt])
{
add[rt<<1] += add[rt];
add[rt<<1|1] += add[rt];
sum[rt<<1] += add[rt] * (m - (m>>1));
sum[rt<<1|1] += add[rt] * (m>>1);
add[rt] = 0;//更新后需要还原
}
}
PushDown就是从当前根节点rt向下更新每个子节点的值,这段代码读者可以自己好好理解,这也是Lazy的关键。
接着就是update操作的三个if语句了,这里我曾经一直不理解,多亏nyf队友的指点,借此感谢之。
下面再解释query函数,也就是用这个函数来求区间和
__int64 query(int l,int r,int rt)
{
if(l == tree[rt].l && r == tree[rt].r)
{
return sum[rt];
}
PushDown(rt,tree[rt].r - tree[rt].l + 1);
int m = tree[rt].mid();
__int64 res = 0;
if(r <= m) res += query(l,r,rt<<1);
else if(l > m) res += query(l,r,rt<<1|1);
else
{
res += query(l,m,rt<<1);
res += query(m+1,r,rt<<1|1);
}
return res;
}
第一个if还是区间的判断和前面update的一样,到这里就可以知道答案了,所以就直接return。
接下来的查询就需要用到rt子节点的值了,由于我们用了Lazy操作,这段的数值还没有更新,因此我们需要调用PushDown函数去更新之,满足if(add[rt])就说明还没有更新。
到这里整个Lazy思想就算介绍结束了,可能我的语言组织不是很好,如果有不理解的地方可以给我留言,我再解释大家的疑惑。
PS:今天总算是对线段树入门了。
这里推荐一下,完全版线段树网址
下面贴出POJ3468完整的代码http://www.notonlysuccess.com/index.php/segment-tree-complete/,这里面有很飘逸的线段树代码,表示其update和query写的很巧妙,代码量也比较少,大家可以去学习。
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int N = 100005;
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
__int64 sum[N<<2],add[N<<2];
struct Node
{
int l,r;
int mid()
{
return (l+r)>>1;
}
} tree[N<<2];
void PushUp(int rt)
{
sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];
}
void PushDown(int rt,int m)
{
if(add[rt])
{
add[rt<<1] += add[rt];
add[rt<<1|1] += add[rt];
sum[rt<<1] += add[rt] * (m - (m>>1));
sum[rt<<1|1] += add[rt] * (m>>1);
add[rt] = 0;
}
}
void build(int l,int r,int rt)
{
tree[rt].l = l;
tree[rt].r = r;
add[rt] = 0;
if(l == r)
{
scanf("%I64d",&sum[rt]);
return ;
}
int m = tree[rt].mid();
build(lson);
build(rson);
PushUp(rt);
}
void update(int c,int l,int r,int rt)
{
if(tree[rt].l == l && r == tree[rt].r)
{
add[rt] += c;
sum[rt] += (__int64)c * (r-l+1);
return;
}
if(tree[rt].l == tree[rt].r) return;
PushDown(rt,tree[rt].r - tree[rt].l + 1);
int m = tree[rt].mid();
if(r <= m) update(c,l,r,rt<<1);
else if(l > m) update(c,l,r,rt<<1|1);
else
{
update(c,l,m,rt<<1);
update(c,m+1,r,rt<<1|1);
}
PushUp(rt);
}
__int64 query(int l,int r,int rt)
{
if(l == tree[rt].l && r == tree[rt].r)
{
return sum[rt];
}
PushDown(rt,tree[rt].r - tree[rt].l + 1);
int m = tree[rt].mid();
__int64 res = 0;
if(r <= m) res += query(l,r,rt<<1);
else if(l > m) res += query(l,r,rt<<1|1);
else
{
res += query(l,m,rt<<1);
res += query(m+1,r,rt<<1|1);
}
return res;
}
int main()
{
int n,m;
while(~scanf("%d %d",&n,&m))
{
build(1,n,1);
while(m--)
{
char ch[2];
scanf("%s",ch);
int a,b,c;
if(ch[0] == 'Q')
{
scanf("%d %d", &a,&b);
printf("%I64d\n",query(a,b,1));
}
else
{
scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);
update(c,a,b,1);
}
}
}
return 0;
}