Chapter1-逻辑语言

逻辑语言

逻辑域

最简单的论域

定义

逻辑对象是真和假，也称为逻辑真值，简称真值，记为 1 和 0

真值集合以及逻辑运算、逻辑关系统称为逻辑域

表达逻辑真值的变量，称为逻辑变量，简称变量

​ 一般用小写英文字母表示

由逻辑真值集合，逻辑运算集合以及关系集合构成的三元组成为逻辑域

• $\forall \exist \neg \wedge \vee, \rightarrow \leftrightarrow \oplus \models \vdash \Leftrightarrow \in \neq \equiv \cup \cap \infty$

符号表示

逻辑对象

​ $\{ 0,1 \}$

逻辑运算

​ $\{ \neg ,\wedge ,\vee,\rightarrow,\leftrightarrow,\oplus \}$

逻辑运算	符号
非	$\neg$
与	$\wedge$
或	$\vee$
如果...，则...	$\rightarrow$
当且仅当	$\leftrightarrow$
异或	$\oplus$

逻辑关系

​ $\{ \Leftrightarrow , \models \}$

真值表

​ 一组逻辑自变量与一个逻辑因变量的对应表

逻辑联结词

$\neg$

$p$	$\neg p$
1	0
0	1

$\wedge$

$p$	$q$	$p\wedge q$
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

$\vee$

$p$	$q$	$p\vee q$
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

$\rightarrow$

$p$	$q$	$p\rightarrow q$
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

sees as lambda x,y : x<=y

$\leftrightarrow$ (互蕴含)

$p$	$q$	$p\leftrightarrow q$
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

sees as lambda x,y : x==y

$p\leftrightarrow q = (p\rightarrow q) \wedge (q\rightarrow p)$

$\oplus$

$p$	$q$	$p\oplus q$
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

$p\oplus q = (p\wedge \neg q) \vee (\neg p \wedge q)$

$\Leftrightarrow$ (相等关系)

真值表，懒得写了

$\models$ (推论关系)

$p$	$q$	$p\models q$
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

运算的性质

逻辑对象

$\{ 0,1\}$

逻辑运算

${ \neg ,\wedge , \vee , \rightarrow ,\leftrightarrow, \oplus}$

逻辑关系

${ \Leftrightarrow, \models}$

性质

• 结合律
• 交换律
• 分配律

合式公式

命题变量及原子公式

• 0 和 1 是常量
• 值取为逻辑真值的变量称为命题变量
  • 表示为小写字母 p, q, s, t 等

定义：命题变量称为原子公式

命题合式公式

定义

常量 0 和 1 是合式公式

命题变量是合式公式

若 Q, R 是合式公式，则 $(\neg Q) , (Q\wedge R) ,(Q\vee R) , (Q\rightarrow R ) , (Q\leftrightarrow R) ,(Q \oplus R)$ 是合式公式

只有有限次应用 (1)-(3) 构成的公式是合式公式

推断式

若 Q, R 是合式公式，则 $Q\models R$ 是推论式

等价式

若 Q, R 是合式公式，则 $Q\models R$ 是等价式

逻辑规律

定律与规则

• 思维直觉、思维定律与定理
• 充分理由律（三段论）： $Q,Q\rightarrow R\models R$
• 传递律： $P\rightarrow Q, Q\rightarrow R \models P\rightarrow R$
• 排中律： $\models (Q\vee \neg Q)$
• 矛盾律： $\models \neg (Q\wedge \neg Q)$

命题逻辑定理

后面还一堆

??????

公式复杂度及合式公式序

公式 P 的复杂度表示为 $FC(P)$

常量 0, 1 复杂度为 0

命题变量复杂度为 0

如果 $P = \neg Q$ ,则 $FC(P) = FC(Q) +1$

如果 $P = Q\wedge R (\vee ,\rightarrow ,\leftrightarrow , \oplus)$ , 则 $FC(P) = \max \{FC(Q),FC(R) \} + 1$

联结词的优先级

从高到低： $\neg,\and ,\or ,\oplus ,\to, \leftrightarrow$

同一个联结词连续多次出现且无括号，则按照从左到右的顺序运算

在满足运算次序不变的情况下，运用联结词的优先级规则则可以减少合式公式括号。

命题逻辑语言

定义

所有的命题合式公式集合构成了命题逻辑语言，记为 $\scr{L}_\mathnormal{p}$

推论

一般来说，命题逻辑语言 $\scr{L}_\mathnormal{p}$ 是无穷集合，也就是说合式公式有无穷多个

等值演算

重要定律

交换律	$Q\or R \Leftrightarrow Q\or R$
结合律	$(P\or Q)\ or R \Leftrightarrow P\or(Q\or R)$
分配律	$P\or (Q\and R) \Leftrightarrow (P\or Q) \and (P\or R)$
德·摩根律	$\neg (Q\or R) \Leftrightarrow \neg Q\and \neg R$
幂等律	$Q \or Q\Leftrightarrow Q$
同一律	$Q\and 1 \Leftrightarrow Q$
吸收律	$Q\or(Q\and R) \Leftrightarrow Q$
零律	$Q\or 1 \Leftrightarrow 1$
排中律	$Q\or \neg Q \Leftrightarrow 1$	双重否定律	$\neg\neg Q \Leftrightarrow Q$
矛盾律	$Q\and \neg Q \Leftrightarrow 0$	假言易位	$Q\to R \Leftrightarrow \neg R\to \neg Q$

等值演算

定义

设合式公式 $Q, R$ ，存在等式序列 $Q_0,\cdots,Q_n$ ，其中，$$