Chapter3-谓词逻辑公式语义

谓词逻辑公式语义

谓词逻辑语法

谓词逻辑语言

• 谓词逻辑语言，又称一阶逻辑语言

  • 逻辑符号：包括变元、联结词、量词

  • 非逻辑符号：包括常量、函词、谓词

  • 仅有个体变元

  • 按形成规则构成的合式公式集合

• 谓词逻辑，也称为狭义谓词逻辑

  • 谓词都是关于个体的性质或关系，而不涉及关系的性质或关系之间的关系
  • 函数是关于个体的函数
  • 量词只作用于个体变元

• 谓词逻辑语言适用于分析和表示所研究的各种命题或命题形式

• 一阶逻辑语言抽象表示

  • 合式公式是由构成规则确定的有穷长符号串序列，仅仅是抽象符号串，合式公式不指称任何对象，也不表示任何意思
  • 合式公式不表示任何语句的内容，也不表示公式的意思，具有高度的抽象性
  • 人们对于同一个合式公式的理解都相同，不会产生二义性

语法

项形成规则

• 定义

  • 个体常元是项

  • 个体变元是项

  • 若是 $t_1,\cdots, t_n$ 项 ，$f_1^n$ 是 $n$ 元函词，则 $f_i(t_1,\cdots,t_n)$ 是项

注：个体常元，个体变元和函词都是不表示任何意义的抽象符号

合式公式形成规则

• 定义
  • 合式公式是按照如下规则构成的有穷长符号串

1. 若 $t_1,\cdots,t_n$ 是项， $Q_i ^n$ 是 $n$ 元谓词，则 $Q_i ^n (t_1,\cdots,t_n)$ 是合式公式
2. 若 $Q$ 是合式公式，则 $(\neg Q)$ 是合式公式
3. 若 $Q, R$ 是合式公式，则 $(Q\and R), (Q\or R) , (Q\to R ) ,(Q\leftrightarrow R),(Q\oplus R)$ 是合式公式
4. 若 $Q$ 是合式公式， $x$ 是变元，则 $(\forall xQ(x)) ,(\exist xQ(x))$ 是合式公式
5. 只有有限次应用 1-4 构成的公式是合式公式

• 推论式（论证式）
  • 若 $Q,R$ 是合式公式，则 $Q\models R$ 是推论式
• 等价式
  • 若 $Q,R$ 是合式公式，则 $Q\Leftrightarrow R$ 是等价式

函词选择

• 对于研究一般推理形式和规律来说，谓词逻辑可以完全不涉及函词

子公式

• 定义
  • 若公式 $R$ 在 $Q$ 中出现，称 $R$ 为 $Q$ 的子公式

约束变元和辖域

• 定义
  • 若 $(\forall x Q) 或 (\exist xQ)$ 是公式，则称变元 $x$ 在公式 $(\forall x Q)$ 中为约束出现，称 $x$ 是约束变元，并称 $x$ 出现的辖域为 $Q$

自由变元

• 定义
  • 如果变元 x 在公式 Q 中的出现不是约束出现，则称 x 在 Q 中为自由出现

基项

• 定义
  • 不出现变元的项称为基项

语句

• 定义
  • 没有自由变元的公式称为语句

代入特性与问题

• 代入： $Q(x) [x/t] \Rightarrow Q(t)$
  • 代入使得Q(x)[x/t]关于t所说的与Q(x)关于x所说的是相同 的，比如说，Q是说“x有某个性质”，那么Q(x) [x/t]说， t有某个性质”

代入

• 定义
  • 设 L 是一阶语言，t 和 t’ 是 L 的项，x 是 t 中自由变元，若 t 中 x 的任何自由出现都替换为 t' ，则称项 t 中的自由变元 x 被项 t' 代入(substitution)
  • 设 L 是一阶语言，t 是 L 的项， Q 是合式公式， x 是 Q 中自由变元，若 Q 中 x 的任何自由出现都替换为 t，则称公式 Q 中的自由变元 x 被项 t 代入

eg.
项f(y)，y是自由变元，公式∀x(Q(x)→∃z(x>z))
(Q(x)→∃z(x>z))[x/f(y)]  (Q(f(y))→∃z(f(y)>z))

代入与可代入

• 定义
  • 设 t 是项，y 是 t 中任一自由变元，Q 是合式公式，x 是 Q 中自由变元，如果 Q 中 x 的任何自由出现都不在∀y(∃y) 的辖域内，则称项 t 是对 Q 中自由变元 x 可代入的(substitutable)

命题与命题形式

• 没有自由变元的合式公式是命题
• 含有自由变元的合式公式是命题形式

用量词把命题形式中的自由变元全部约束之后，就得一个命题
关于量词的推理规律是与变元的自由出现和约束出现相联系的
谓词逻辑主要研究量词的逻辑性质，因此称为做量词理论

谓词逻辑语义

逻辑语句的语义

• 逻辑语句的真值有三类
  • 1. 联结词确定语句真值
    2. 联结词和量词确定语句真值
    3. 联结词、量词和谓词确定语句真值

赋值函数

• 定义
  • 赋值函数（简称赋值）是一种从合式公式到集合 {0, 1} 的函数，记为 $\sigma$

联结词语义

• 定义
  • 设Q, R是命题公式，σ是赋值，合式公式联接词的语义指定为对应的逻辑运算

量词语义

• 量词 $\forall ,\exist$ 解释为逻辑量词 $\forall ,\exist$

谓词逻辑公式语义

• 通过赋值函数，将一个合式公式的联结词符号指派为逻辑联结词，将量词符号指派为逻辑量词，将谓词符号指派为谓词，将函数符号指派为函数，将客体符号指派为对象，即将合式公式逐步指派为有语义的逻辑公式

相等关系与推论关系的语义

• 定义

  • 设Q,R是合式公式，如果对于任意赋值σ，都有 σ(Q)=σ(R),则称Q与R是逻辑等价，记为Q$\Leftrightarrow$R
  • 设Γ是合式公式集合，R是合式公式，若对于任意赋值 函数σ，σ(Γ)╞σ(R)，则称R与Γ的逻辑推论，或称Γ语义推出R ，记为Γ╞R
  • 若Γ= {Q1 ,..., Qn }，也可记为Q1 , ..., Qn╞Q
  • 若Γ是空集合，则记为╞Q

  前置量词定理

  贼长没法抄

  演绎定理与反证律

• 演绎定律

  • $$\models Q\to r, 当且仅当, Q\models R$$

• 反证律

  • $$Q,\neg R \models 0, 当且仅当,Q\models R$$

重要定理

给定一阶语言 L，设 x 是变元，Q 是 L 的公式，则

$$\begin{array}{lll} (1). \neg \forall x Q(x) \Leftrightarrow \exist x \neg Q(x) \\ (2). \neg \exist x Q(x) \Leftrightarrow \forall x \neg Q(x) \end{array}$$

演绎定理、反证律及反例

• 定理

  • 设 L 是一阶语言，对于任意 $\sigma$ ，设 t 是 L 的项，Q 是 L 的公式，若对于公式 Q 中的 x 是 t 可代入的，则

    $$\sigma (Q[x/t]) = \sigma (Q [x/\sigma(t)])$$

  • $\models Q$ 当且仅当 $Q$ 是永真式

  • 给定一个语言L 及它的公式Q1 ,...,Qn ,Q，则 Q1 ,...,Qn╞Q当且仅当Q1∧...∧Qn →Q是永真的

  • 给定一个语言L 及它的语句Q, R，Q$\Leftrightarrow$R当且仅当 Q╞R 及R╞Q

  • 给定一个语言L , Γ是一个公式集合, Q 是一个公式。 若Γ╞Q，当且仅当Γ $\cup${¬Q}不可满足

  • 公式集合Γ不可满足，当且仅当每个公式都是Γ的逻辑推论

  • 给定一个语言L, Q是它的公式, Γ是它的公式集, x 是变元。若x 不是Γ中任意公式的自由变元, 且Γ╞Q，则Γ╞∀xQ

合式公式变换

重要定理

• 给定一阶语言 L，设 x 是变元，Q 是 L 的公式，则

  • $$\begin{array}{l} (1). \neg \forall x(Q(x)) \Leftrightarrow \exist x\neg Q(x) (2). \neg \exist x(Q(x)) \Leftrightarrow \forall x \neg Q(x) \end{array}$$

• 

范式

前束范式步骤

前束范式

• 定义
  • 设δk为∀,∃量词，x1…xn为不同变元，Q为开公式 ，形式为δ1 x1…δn xnQ的公式称为前束范式， 称δ1 x1…δn xn为前束词，称Q为母式
• 前束合取范式
  • 若δ1 x1…δn xnQ的是前束范式，并且Q是合取范式 ，则称δ1 x1…δn xnQ是前束合取范式
• 定理
  • 设δk为∀,∃量词，x1…xn为不同变元，对于任意合 式公式Q，存在前束范式δ1 x1…δn xnR， 使得Q$\Leftrightarrow$δ1 x1…δn xnR