[LeetCode]题53：Maximum Subarray

Given an integer array nums, find the contiguous subarray (containing at least one number) which has the largest sum and return its sum.

Example:

Input: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
Output: 6
Explanation: [4,-1,2,1] has the largest sum = 6.

题目是求最大和子序列

这道题如果依次对子序列求和，时间复杂度为O(n²)，超时了。

用动态规划比较合适。维护两个变量，一个局部最优变量（必须包含当前元素的最优解），一个全局最优变量。动态规划必须先得到它的递归式。在

假设我们已知第i步的global[i]（全局最优）和local[i]（局部最优），那么第i+1步的表达式是：

loca[i+1]=max(local[i]+nums[i+1], nums[i+1])

global[i+1]=max(local[i+1]，global[i])

有了当前一步的局部最优，那么全局最优就是当前的局部最优或者还是原来的全局最优（所有情况都会被涵盖进来，因为最优的解如果不包含当前元素，那么前面会被维护在全局最优里面，如果包含当前元素，那么就是这个局部最优）。

 接下来我们分析一下复杂度，时间上只需要扫描一次数组，所以时间复杂度是O(n)。空间上我们可以看出表达式中只需要用到上一步local[i]和global[i]就可以得到下一步的结果，所以我们在实现中可以用一个变量来迭代这个结果，不需要是一个数组，也就是如程序中实现的那样，所以空间复杂度是两个变量（local和global），即O(2)=O(1)。

        local = 0
        # 需要设置的很大  有时候全局最优解也是个较大的负数
        res = -100000000000000000
        # DP  52ms  beats 43%
        for num in nums:
            local = max(local+num,num)
            res = max(res,local)
        return res

 

对算法进行改进，考虑对局部最优解使用贪心策略。如果local[i]是一个负数时，那么第i+1步的最优解则不需要加上它，直接用A[i]。

 

# 贪心  44ms beats 98%
        for num in nums:
            if local < 0:
                local = 0
            local += num
            res = max(res,local)
        return res