[luogu]P1066 2^k进制数[数学][递推][高精度]
2^k进制数
题目描述
设r是个2^k 进制数，并满足以下条件：
（1）r至少是个2位的2^k 进制数。
（2）作为2^k 进制数，除最后一位外，r的每一位严格小于它右边相邻的那一位。
（3）将r转换为2进制数q后，则q的总位数不超过w。
在这里，正整数k（1≤k≤9）和w（k<W≤30000）是事先给定的。
问：满足上述条件的不同的r共有多少个？
我们再从另一角度作些解释：设S是长度为w 的01字符串（即字符串S由w个“0”或“1”组成），S对应于上述条件（3）中的q。将S从右起划分为若干个长度为k 的段，每段对应一位2^k进制的数，如果S至少可分成2段，则S所对应的二进制数又可以转换为上述的2^k 进制数r。
例：设k=3，w=7。则r是个八进制数（2^3=8）。由于w=7，长度为7的01字符串按3位一段分，可分为3段（即1，3，3，左边第一段只有一个二进制位），则满足条件的八进制数有：
2位数：高位为1：6个（即12，13，14，15，16，17），高位为2：5个，…，高位为6：1个（即67）。共6+5+…+1=21个。
3位数：高位只能是1，第2位为2：5个（即123，124，125，126，127），第2位为3：4个，…，第2位为6：1个（即167）。共5+4+…+1=15个。
所以，满足要求的r共有36个。
输入输出格式
输入格式：
输入只有1行，为两个正整数，用一个空格隔开：
k W
输出格式：
输出为1行，是一个正整数，为所求的计算结果，即满足条件的不同的r的个数（用十进制数表示），要求最高位不得为0，各数字之间不得插入数字以外的其他字符（例如空格、换行符、逗号等）。
（提示：作为结果的正整数可能很大，但不会超过200位）
输入输出样例
输入样例1#：
3 7
输出样例1#：
36
说明
NOIP 2006 提高组 第四题
递推性质很明显，当这位数填i时，下一位只能是（i,2k），用一个状态f[i][j]表示第i位填j的情况，这样会超时，注意是一个连续区间一起转移，可以采用前缀和的方式：
我们就可以得到转移（从后往前做）： f[i][j]=f[i-1][(1<<k)-1]-f[i-1][j]，f[i][j]+=f[i][j-1]；
注意我们每次调用的一定比当前值大，于是我们可以省掉一维。
其实比较坑爹的还是高精度啦，可恶。
代码：
1 //2017.11.6 2 //递推 高精度 3 #include<iostream> 4 #include<cstdio> 5 #include<cstring> 6 using namespace std; 7 typedef long long ll ; 8 inline int read(); 9 int Max(int x,int y){return x>y?x:y;} 10 namespace lys{ 11 struct gjd{ 12 int a[216]; 13 int len; 14 gjd(){memset(a,0,sizeof a); len=0;} 15 }; 16 gjd f[1<<10+7],ans; 17 gjd add(gjd x,gjd y){ 18 int l=Max(x.len,y.len); 19 int i,p=0; 20 gjd z; 21 for(i=1;i<=l;i++) z.a[i]=x.a[i]+y.a[i]+p,p=z.a[i]/10,z.a[i]%=10; 22 if(p) z.a[++l]=p; 23 z.len=l; 24 return z; 25 } 26 gjd div(gjd x,gjd y){ 27 int l=x.len; 28 int i; 29 gjd z; 30 for(i=1;i<=l;i++){ 31 z.a[i]=(x.a[i]-y.a[i]+10)%10; 32 if(x.a[i]<y.a[i]) x.a[i+1]--; 33 } 34 if(!z.a[l]) l--; 35 z.len=l; 36 return z; 37 } 38 int K,w; 39 int main(){ 40 ans.len=1; 41 int i,j,k; 42 K=read(); w=read(); 43 int n=w/K; 44 for(i=0;i<(1<<K);i++){ 45 int x=i,t=0; 46 while(x){ 47 f[i].a[++t]=x%10; 48 x/=10; 49 } 50 f[i].len=t; 51 } 52 for(i=2;i<=n;i++) 53 for(j=0;j<(1<<K);j++){ 54 f[j]=div(f[(1<<K)-1],f[j]); 55 if(j) ans=add(ans,f[j]),f[j]=add(f[j],f[j-1]); 56 } 57 n=w%K; 58 for(i=1;i<(1<<n);i++) ans=add(ans,div(f[(1<<K)-1],f[i])); 59 for(i=ans.len;i;i--) printf("%d",ans.a[i]); 60 puts(""); 61 return 0; 62 } 63 } 64 int main(){ 65 lys::main(); 66 return 0; 67 } 68 inline int read(){ 69 int kk=0,ff=1; 70 char c=getchar(); 71 while(c<'0'||c>'9'){ 72 if(c=='-') ff=-1; 73 c=getchar(); 74 } 75 while(c>='0'&&c<='9') kk=kk*10+c-'0',c=getchar(); 76 return kk*ff; 77 }
