[luogu]P1053 篝火晚会[数学][群论]

[luogu]P1053

篝火晚会

题目描述

佳佳刚进高中，在军训的时候，由于佳佳吃苦耐劳，很快得到了教官的赏识，成为了“小教官”。在军训结束的那天晚上，佳佳被命令组织同学们进行篝火晚会。一共有n个同学，编号从1到n。一开始，同学们按照1，2，……，n的顺序坐成一圈，而实际上每个人都有两个最希望相邻的同学。如何下命令调整同学的次序，形成新的一个圈，使之符合同学们的意愿，成为摆在佳佳面前的一大难题。

佳佳可向同学们下达命令，每一个命令的形式如下：

(b1, b2,... bm -1, bm)

这里m的值是由佳佳决定的，每次命令m的值都可以不同。这个命令的作用是移动编号是b1，b2，…… bm的这m个同学的位置。要求b1换到b2的位置上，b2换到b3的位置上，……，要求bm换到b1的位置上。执行每个命令都需要一些代价。我们假定如果一个命令要移动m个人的位置，那么这个命令的代价就是m。我们需要佳佳用最少的总代价实现同学们的意愿，你能帮助佳佳吗？

输入输出格式

输入格式：

输入文件fire.in的第一行是一个整数n（3 <= n <= 50000），表示一共有n个同学。其后n行每行包括两个不同的正整数，以一个空格隔开，分别表示编号是1的同学最希望相邻的两个同学的编号，编号是2的同学最希望相邻的两个同学的编号，……，编号是n的同学最希望相邻的两个同学的编号。

输出格式：

输出文件fire.out包括一行，这一行只包含一个整数，为最小的总代价。如果无论怎么调整都不能符合每个同学的愿望，则输出-1。

输入输出样例

输入样例1#：

4

3 4

4 3

1 2

1 2

输出样例1#：

2

说明

对于30%的数据，n <= 1000；

对于全部的数据，n <= 50000。

2005提高组第三题

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个人感觉是一道比较数学味道，技巧性强的题目。

首先我们要弄一个目标态，这个也是要技巧的，随便搞一下就让你gg。我是参照luogu里题解大佬的方法，的确不易错。然后不行直接输出“-1”。

然而问题根本没这么简单啊，我们先假设初始态为 1 2 3 4 ...

然后他不是要把目标态排成初始态吗，然后我突然想到以前老师有让我们做过那个什么一个序列排序两两交换最少要几次的那种，跟这个操作一模一样啊，就是找环，只是两两交换代价不同，这个代价就是还没回归正位的数的个数啊！！！

不要以为就结束了，人家这是环呵呵，朴素的我们枚举每种圆排列相同的不同的全排列，逐一比较，效率O（n²）。30分，其实也不错了。

其实我们要找的是已经排对位置的数的个数最大，我们可以用相对运动来理解，对于某一个参照，i，j与参照位置相同，其实他们位置就相同。

我们于是记录一个（a[i]-i）%n个数，O（n）找出最大即可。

注意顺逆皆可，反过来也要做，可以放在一起做。

代码：

//2017.11.1
//群
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
inline int read();
int Max(int x,int y){return x>y?x:y;}
namespace lys{
    const int N = 5e4 + 7 ;
    int l[N],r[N],a[N],cnt1[N],cnt2[N];
    int n,ans;
    int main(){
        int i;
        n=read();
        for(i=0;i<n;i++) l[i]=read(),r[i]=read(),l[i]--,r[i]--;
        a[0]=0,a[n-1]=l[0],a[1]=r[0];
        for(i=2;i<n-1;i++)
            if(l[a[i-1]]==a[i-2]) a[i]=r[a[i-1]];
            else a[i]=l[a[i-1]];
        for(i=0;i<n;i++){
            if(a[(i-1+n)%n]==l[a[i]]&&a[(i+1)%n]==r[a[i]]||a[(i-1+n)%n]==r[a[i]]&&a[(i+1)%n]==l[a[i]]) continue ;
            puts("-1");
            return 0;
        }
        for(i=0;i<n;i++){
            cnt1[(a[i]-i+n)%n]++;
            cnt2[(a[i]+i)%n]++;
        }
        for(i=0;i<n;i++) ans=Max(ans,Max(cnt1[i],cnt2[i]));
        printf("%d\n",n-ans);
        return 0;
    }
}
int main(){
    lys::main();
    return 0;
} 
inline int read(){
    int kk=0,ff=1;
    char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){
        if(c=='-') ff=-1;
        c=getchar();
    }
    while(c>='0'&&c<='9') kk=kk*10+c-'0',c=getchar();
    return kk*ff;
}