【模板】st表
今天学习了一下st表 其实好几天就一直看
用禚神仙的话来说：
ST表是一种用于处理静态RMQ问题（无修改区间最值问题）的最快数据结构，书写方便使用简单效率便捷。
其中其预处理复杂度为O(nlogn)，查询复杂度为O(1)。总时间复杂度为O(nlogn)。
常数远小于树状数组、线段树等毒瘤数据结构。
st表不支持在线修改 不支持！！！！！
一种利用dp求解区间最值的倍增算法。
定义：f[i][j]表示i到i+2^j-1这段区间的最大值。这里必须是i到i+2的j次方-1 别问为什么 规定！！！
预处理：f[i][0]=a[i]。即i到i区间的最大值就是a[i]。
状态转移：将f[i][j]平均分成两段，一段为f[i][j-1]，另一段为f[i+2^(j-1)][j-1]。
两段的长度均为2^j-1。f[i][j]的最大值即这两段的最大值中的最大值。
得到f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+2^(j-1)][j-1])。
预处理就是运用倍增+区间动规
ST表使用DP思想求解区间最值，貌似属于区间动态规划，不过区间在增加时，每次并不是增加一个长度，而是使用倍增的思想，每次增加2^i个长度。
使用F[i,j]表示以i为起点，区间长度为2^j的区间最值，此时区间为[i,i + 2^j - 1]。
比如，F[0,2]表示区间[0,3]的最值，F[2,2]表示区间[2,5]的最值。
在求解F[i,j]时，ST算法是先对长度为2^j的区间[i,i + 2^j - 1]分成两等份，每份长度均为2^(j - 1)。之后在分别求解这两个区间的最值F[i,j - 1]和F[i + 2^(j - 1),j - 1]。，最后在结合这两个区间的最值，求出整个区间的最值。
状态转移方程是 F[i,j] = min(F[i,j - 1],F[i + 2^(j - 1),j - 1])
初始状态为：F[i,0] = A[i]。
例题：luogu P3685 【模板】ST表
主要变量
1.f[i][j] : 记录给定序列中区间[i,i+pow(2,j)-1]中的最大值。 起始条件:f[i][0]=a[i]; (根据上面的定义，f[i][0]代表[i,i]区间最小值(即a[i]:显然区间[i,i]里只有它一个数))。 2.bit[i] : bit[i]=pow(2,i)(记录2的i次方)。 起始条件:bit[0]=1,之后for循环生成即可。 3.a[i]:存给定序列。 4.LC:在生成st表时作为f[i][j]中j的循环上界。
①.在f[i][j]中，i为区间左端点，j决定了f[i][j]包括的比较过的的元素个数为2^j，区间右端点下标为i+pow(2,j)-1（注意这里有个-1）;
②.由于我们循环生成st表时按区间长度由小到大，故先循环j（1~(int)log2(n)）------ （此处的j是f[i][j]中的j）。
f[i][j]:从i出发算上i连续pow(2,j)个数的最大值
<=>从i出发连续pow(2,j-1) 与 从i+pow(2,j-1)出发连续pow(2,j-1)这两个最大值的最大值（分成两半）
方程:
f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+pow(2,j-1)][j-1]);
完整代码：
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
int f[100001][40],a,x,LC,n,m,p,len,l,r;
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>a;
f[i][0]=a;
}
lc=(int)(log(n)/log(2));//自动向下取整（显然向上取整搞st表时比较最大值时容易把给定序列外头的元素也包括在内，不过这对于最大值么什么大碍，
//如果是查找最小值。。。你就杯具了）
for(int j=1;j<=lc;j++)
for (int i=1;i<=n-(1<<j)+1;i++))//由于2^j为区间长度,故循环j其实就是把区间长度从1枚举到n（有可能<）
f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);//对于每一个区间长度枚举所有可行的左端点
for(int i=1;i<=m;i++)
{
cin>>l>>r;
p=(int)(log(r-l+1)/log(2));
cout<<max(f[l][p],f[r-(1<<p)+1][p]);
}
return 0;
}
简单的模拟一下：
给定一个数列2 4 3 5 1: 此时LC=2，n=5； f[1][0]=2 f[2][0]=4 f[3][0]=3 f[4][0]=5 f[5][0]=1 当j=1时， i = 1 to 4 f[1][1]=max(f[1][0],f[2][0])=4;[1,2] f[2][1]=4 f[3][1]=5 f[4][1]=5 当j=2时， i = 1 to n-bit[j]+1=2 f[1][2]=max(f[1][1],f[3][1])=5; f[2][2]=5
