11. Container With Most Water

Given n non-negative integers a1, a2, ..., an, where each represents a point at coordinate (i, ai). n vertical lines are drawn such that the two endpoints of line i is at (i, ai) and (i, 0). Find two lines, which together with x-axis forms a container, such that the container contains the most water.

Note: You may not slant the container and n is at least 2.

问题：给出一组非负数组 a1, a2, ..., an，ai表示位于位置i的线的高度，用任意两根线装水，求最大值，不能倾斜。

不能倾斜，装水，所以上述问题就是求   res = min(a[i], a[j]) * (j - i)  的最大值，其中 0 <= i < j <= n。

1、最简单最暴力的方法是遍历所有组合了，这样时间复杂度就是O(n²)。

2、想一个复杂度比较小的方法。要使乘积足够大，首先a[i], a[j]要足够大，其次两个数要足够远，也就是(j - i)足够大。从这个方向去解决问题：

设置两个指针，一个从头开始扫，一个从尾部开始，这样能保证(j - i)是最大的。在(j - i)减小的基础上，为了增大res, 需要增大min(a[i], a[j])。

不妨设 a[i] < a[j]，所以 ++i， 只要找到a[i + m] > a[i]，此时判断哪个面积更大，并在这个基础上继续扫描。

这边有一个问题，就是 假设  res1 = min(a[i], a[j]) * (j - i) < min(a[i + m], a[j]) * (j - i - m) = res2 ，

会不会存在一个n，使得 res3 = min(a[i], a[j - n]) * (j - i - n) > min(a[i + m], a[j]) * (j - i - m) = res2 

因为在上一步， res2 > res1 时，i ← i + m，那么如果存在这种情况，方法2就是不严谨的。

证明：

已知 1、a_i<a_i+m； 2、a_j < a_j-n； 3、min(a_i, a_j) * (j - i) < min(a_i+m, a_j) * (j - i - m)

反证法： 假设存在n， 使res3 > res2

那么就有 res3 > res1

于是 min(a_i, a_j-n) > min(a_i, a_j)

情况1：a_j-n > a_i > a_j， 或a_i > a_j-n > a_j

那么可以推出     a_j * (j - i)  = min(a_i, a_j) * (j - i)  > min(a_i+m, a_j) * (j - i - m) =  a_j * (j - i - m) ， 与已知条件3矛盾

情况2：a_j > a_i > a_j-n   显然与已知条件2矛盾

 

那么就愉快地发现方法2是严谨的。时间复杂度成功降到O(n)

class Solution {
public:
    int maxArea(vector<int>& height) {
        if (height.empty())
            return 0;
        int low = 0;
        int high = height.size() - 1;
        int res = min(height[low], height[high]) * (high - low);
        while (low < high) {
            if (height[low] < height[high]) {
                while (height[low + 1] <= height[low])
                    ++low;
                res = max(res, min(height[++low], height[high]) * (high - low));
            }  
            else {
                while (height[high - 1] <= height[high])
                    --high;
                res = max(res, min(height[low], height[--high]) * (high - low));
            }
        }
        return res;
    }
};