96. Unique Binary Search Trees

Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n?

For example,
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's.

 1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

问题：给n个不同数，统计所有可构造的二叉搜索树。

解决方案：动态规划。

思路：为了防止重复统计，考虑不同的根节点。对任意一个n，如果1为根节点，左子树无法添加任意节点，右子树可以是（2,3,4……n）这n-1个数构成的任意子二叉搜索树。如果以2为根节点，左子树只能是1，右子树可以是（3,4……n）这n-2个数构成的任意子二叉搜索树。如果以k为根节点，左子树是（1,2,3,4……k-1）这k-1个数构成的任意子二叉搜索树，右子树可以是（k+1,k+2……n）这n-k个数构成的任意子二叉搜索树。

代码：

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> dp(n+1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i=1; i<=n; ++i)
            for (int j=1; j<=i; ++j)
                dp[i] += dp[j-1] * dp[i-j];
        return dp[n];
    }
};