【题解】Luogu P8743 【[蓝桥杯 2021 省 A] 异或数列】

最近刚好在刷博弈论，看到这道题没有题解，所以刚好来水一发

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[蓝桥杯 2021 省 A] 异或数列

题目描述

Alice 和 Bob 正在玩一个异或数列的游戏。初始时，Alice 和 Bob 分别有一 个整数 $a$ 和 $b$, 有一个给定的长度为 $n$ 的公共数列 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 。

Alice 和 Bob 轮流操作，Alice 先手，每步可以在以下两种选项中选一种:

选项 1: 从数列中选一个 $X_{i}$ 给 Alice 的数异或上, 或者说令 $a$ 变为 $a \oplus X_{i}$ 。（其中 $\oplus$ 表示按位异或）

选项 2: 从数列中选一个 $X_{i}$ 给 Bob 的数异或上，或者说令 $b$ 变为 $b \oplus X_{i}$ 。

每个数 $X_{i}$ 都只能用一次, 当所有 $X_{i}$ 均被使用后（$n$ 轮后）游戏结束。游戏结束时, 拥有的数比较大的一方获胜，如果双方数值相同，即为平手。

现在双方都足够聪明，都采用最优策略，请问谁能获胜?

输入格式

每个评测用例包含多组询问。询问之间彼此独立。

输入的第一行包含一个整数 $T$，表示询问数。

接下来 $T$ 行每行包含一组询问。其中第 $i$ 行的第一个整数 $n_{i}$ 表示数列长度，随后 $n_{i}$ 个整数 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n_{i}}$ 表示数列中的每个数。

输出格式

输出 $T$ 行，依次对应每组询问的答案。

每行包含一个整数 $1$、$0$ 或 $-1$ 分别表示 Alice 胜、平局或败。

样例 #1

样例输入 #1

4
1 1
1 0
2 2 1
7 992438 1006399 781139 985280 4729 872779 563580

样例输出 #1

1
0
1
1

提示

对于所有评测用例, $1 \leq T \leq 2\times 10^5,1 \leq \sum\limits_{i=1}^{T} n_{i} \leq 2\times10^5,0 \leq X_{i}<2^{20}$ 。

蓝桥杯 2021 第一轮省赛 A 组 G 题。

题目解释

• 读完了之后发现完全没说a和b是什么东西，看完样例发现，a和b默认应该为0

性质

• 可以看到，双方的选择最终一定会把所有的数字选择光，而且根据异或的性质，异或之后得到的结果和数字的异或顺序无关，所以我们最后得到的Alice和Bob的数字$A$和$B$一定满足：
  • $A\oplus B = X_1 \oplus X_2 \oplus...\oplus X_n$
• 可以看出，假如将所有$X_i$进行二进制拆分，并且统计每一位的1的个数，设这个统计数组为$ans$，那么Alice和Bob的策略就是抢$ans$的最高位的1
  • 如果$ans$最高位的1的个数为1个，那么一定是先手必胜。因为只要Alice先手抢到了这个贡献了1的这个数字，(也就是最大的数字)，那么剩下的过程无论Alice和Bob如何选，无论异或在$A$或者$B$上，最高位的这个1都是无法被抵消掉的，在最终的$A$中都有最高位的这个1，而$B$的同一位为0，所以$A$一定大于$B$。
  • 如果最高位的1的个数为奇数个（非1个），那么显然在Alice选择了一个高位1之后，他们谁都不会优先去选择能为最高位贡献1的数字了，因为此时能为最高位贡献1的数字剩余一定是偶数个，如果Bob先选了某一个高位1和$B$/$A$异或，那么Alice一定会选择一个高位1去跟$B$/$A$异或，来抵消掉刚刚Bob的操作对于最高位的影响。对于Alice也是如此。
    • 所以此时两人一定都会开始选择一些“无关紧要”的数字，直到某一方不得不选择对于最高位有影响的数字
    • 所以此时:如果n为偶数，那么后手赢
    • 如果n为奇数，那么先手赢
  • 如果最高位的1的个数为偶数个，那么一方选择了某一个为最高位贡献了一个1的数字时，另一方一定会紧随其后选择另一个也为最高位贡献了一个1的数字，这样使得在$A$和$B$中的这一位抵消掉，否则会让自己陷入劣势，所以我们应该看次高位，如果仍为偶数则看次次高位，直到某一个位的“1的个数”是奇数为止。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define re register
#define ll long long
#define inc(i,j,k) for(re int i=j;i<=k;i++)
#define dec(i,j,k) for(re int i=j;i>=k;i--)
using namespace std;
const int maxn = 2e5+10;
inline int read(){
	re int x=0,f=1; char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1; ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9') {x=x*10+(ch^48); ch=getchar();}
	return x*f;
}
inline ll re_ad(){
	re ll x=0,f=1; char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1; ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9') {x=x*10+(ch^48); ch=getchar();}
	return x*f;
}
int T,n;
ll a[maxn];
int bit[32],highbit;
int cnt;
inline void div(ll x){
	cnt=1;
	while(x){
		if(x&1) bit[cnt]++;
		cnt++;
		x>>=1;
	}
	highbit = max(highbit,cnt);
}
int main(){
	T=read();
	inc(t,1,T){
		n=read();
		memset(bit,0,sizeof(bit));
		highbit=0;
		ll check = 0;
		inc(i,1,n){
			a[i]=re_ad();
			check^=a[i];
			div(a[i]);
		}
		if(!check){
			puts("0");
		}else{
			dec(i,highbit,1){
				if(bit[i]&1){
					if(bit[i]==1) puts("1");
					else if(n&1) puts("1");
					else puts("-1");
					break;
				}
			}
		}
	}
}
/*
1
5 4 2 8 7 3
*/