P5308 [COCI2019] Quiz

1|0P5308 [COCI2019] Quiz

1|1题目描述：

规定贡献为 $\frac{\text{选出来的数}}{\text{总数}}$ ，问恰好经过 $k$ 次选数，最多能获得的贡献。

1|2题目分析：

直接暴力单调性转移 $40$ 滚粗。。

貌似是 $dp$ 的倒退？但是正着推也是可以做的。

首先很显然的一个 $dp$

$$dp[i][k]=max_{0\le j< i} (dp[j][k-1]+\frac{i-j}{n-j})$$

就是表示前 $i$ 个里面选 $j$ 次，是一个划分性 $dp$

考虑斜率优化(话说我已经好长时间没写过斜率优化了)

$$dp[j][k-1]-\frac{j}{n-j}=(-i) \times\frac{1}{n-j}+dp[i][k]$$

设 $dp[i][k-1]$ 为 $y$，$\frac{1}{n-j}$ 为 $x$，$(-i)$ 为 $k$，$dp[i][k]$ 为 $b$

然后 $x$ 和 $k$ 均满足单调性，直接在凸包上进行斜率优化即可。但是很明显过不去是吧， 然后你定睛一看，这是个凸函数（证明先咕了），套上 $wqs$ 二分即可（怎么考的都是我很长时间没碰的东西啊喂）

1|3Code:

//editor : DRYAYST
//Wo shi ge da SHA BI
#include<bits/stdc++.h>
#define g() getchar()
#define il inline
#define ull unsigned long long
#define eps 1e-14
#define ll long long
#define pa pair<int, int>
#define for_1(i, n) for(int i = 1; i <= (n); ++i)
#define for_0(i, n) for(int i = 0; i < (n); ++i)
#define for_xy(i, x, y) for(int i = (x); i <= (y); ++i)
#define for_yx(i, y, x) for(int i = (y); i >= (x); --i)
#define for_edge(i, x) for(int i = head[x]; i; i = nxt[i])
#define int long long
#define DB long double
#define ls (p<<1)
#define rs (p<<1|1)
#define m_p make_pair
#define fi first
#define se second
using namespace std;
const int N = 2e5 + 10, INF = 0x7f7f7f7f, mod = 1e9 + 7;
il int qpow(int x, int k) {int ans = 1; while(k) {if(k & 1) ans = ans * x % mod; x = x * x % mod; k >>= 1; } return ans; }
il int Add(int x, int y) {return (x += y) %= mod;}
il int Del(int x, int y) {return (x = x - y + mod) % mod;}
il int Mul(int x, int y) {return x * y % mod;}
il int inv(int x) {return qpow(x, mod - 2); }
inline int re() {
    int x = 0, p = 1;
    char ch = getchar();
    while(ch > '9' || ch < '0') {if(ch == '-') p = -1; ch = getchar();}
    while(ch <= '9' and ch >= '0') {x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48); ch = getchar();}
    return x * p;
}

int n, K, head, tail;
int q[N], num[N]; 
DB dp[N]; 

il DB X(int x) {return 1.0 / (n - x); }
il DB Y(int x) {return dp[x] - 1.0 * (x) / (n - x); }
il DB work(int x, int y) {return (Y(y) - Y(x)) / (X(y) - X(x)); }
il bool Check(DB x) {
    head = tail = 1; 
    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
        while(head < tail and work(q[head], q[head+1]) >= (-1.0 * i)) ++head;
        dp[i] = Y(q[head]) + i * X(q[head]) - x;  num[i] = num[q[head]] + 1; 
        while(head < tail and work(q[tail - 1], q[tail]) <= work(q[tail], i)) --tail;
        q[++tail] = i; 
    }
    return num[n] >= K; 
}

signed main() {
     freopen("talk.in","r",stdin);
     freopen("talk.out","w",stdout); 
    n = re(), K = re(); 
    DB l = 0, r = INF; 
    while(r - l > eps) { 
        DB mid = (l + r) / 2; 
        if(Check(mid)) l = mid; else r = mid; 
    }
    Check(l); printf("%.9Lf\n", dp[n] + 1.0 * l * K);
}

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本文作者：Zwaire
本文链接：https://www.cnblogs.com/Zwaire/p/16102200.html
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