强连通分量-缩点
初学只需要背代码就好了，而复习的时候要考虑的就多了（
（打牛客的时候用到，发现忘得差不多了）
概念解读
- 连通：在无向图中，从任意点
A都可以到达任意点B。 - 强连通：在有向图中，从任意点
A都可以到达任意点B。 - 弱连通：将有向图看作无向图后，从任意点
A都可以到达任意点B。
特殊地，单独的点也可以看作强连通分量。
说白了，强连通分量就是环。
而用于求强连通分量的算法，就是大名鼎鼎的 tarjan！
而强连通分量最大的应用，则是求出环之后进行缩点。
模板
首先分析模板为什么能用缩点来做
这不显然吗题目就叫缩点
由于每个点的点权只计算一次，所以一个点重复走对于答案的贡献没有影响。
那么，如果走到了环上的一点，则走完环上的所有点一定会是最有答案的一部分。
所以就可以找到所有的强连通分量，然后把强连通分量缩成点，然后构造新图。
而构造出的新图，绝对是一个 DAG（有向无环图）！
然后就可以用拓扑去解决这个 DAG。
tarjan
那么，求强连通分量的 tarjan 到底是怎样实现的呢。
众所周知，对树进行 dfs 的时候，有一个名为时间戳的神奇东西，他可以记录 dfs 时的顺序。
而对图进行 dfs 时，则会出现一下几个概念：
- 树边：属于
dfs生成树的边。 - 非树边：不属于生成树的边，分为：
- 返祖边：在
dfs时指向祖先节点的边。 - 前向边：在
dfs时指向子树中节点的边。 - 横叉边：在
dfs时指向已经访问过的点，但不是祖先节点。
- 返祖边：在
而我们求强连通分量，实际上就是找环。
在 dfs 中，我们用栈来储存目前搜到但没有构成强连通分量的。
tarjan 除了时间戳，还引入了另一个变量：回溯值 low。
\(low_u\)：在 \(u\) 的子树中能够回溯到的最早的已经在栈中的结点。
显然，环的组成是部分树边和一条返祖边，前向边和横叉边则不会成环。
同样在 dfs 时，只有树边和返祖边会影响 low。
low 的初始值均为当前节点的时间戳。
-
分析树边：
当前节点向下发出的树边连接的即为子节点。首先继续
dfs，到回溯时通过与子节点的low值取较小值更新当前节点的low。此时当前节点的low满足定义。 -
分析回溯边：
当前节点若发出回溯边，则必定指向自己的祖先，根据
low的定义，当前节点的low即可根据回溯的祖先节点的时间戳更新。
而当分析完所有发出的边后，若时间戳与 low 相等，则说明子树中没有节点能到达更早的在栈中的节点，当前节点即可作为强连通分量的根，将栈中的节点弹出，作为一个强连通分量储存。
代码：
void Tarjan(int now)
{
in[now]=1;h.push(now);
dfn[now]=low[now]=++dfns;
for(int i=fir[now];i;i=nex[i])
{
int p=poi[i];
if(!dfn[p])
{//没有 dfs 过，属于树边
Tarjan(p);
low[now]=min(low[now],low[p]);
}
else if(in[p])//dfs 过，但是还在栈中，属于回溯边
low[now]=min(low[now],dfn[p]);
}
if(dfn[now]==low[now])
{//强连通分量的根，弹出
int ls;ks++;
do{
ls=h.top();h.pop();in[ls]=0;
bel[ls]=ks;sum[ks]+=a[ls];
}while(ls!=now);
}
}
找完强连通分量之后，便要重建图，即缩点。
我们遍历所有的边，若边的两端不在同一强连通分量，则说明重建图中有这个边。
为不与原图冲突，重建图采用 vector 存图（原图采用邻接表存图）。
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int ru=bel[u[i]],rv=bel[v[i]];
if(ru==rv)continue;
e[ru].push_back(rv);
deg[rv]++;
}
由于缩点之后的图绝对是 DAG，所以直接通过拓扑解决后续问题。
for(int i=1;i<=ks;i++)
if(!deg[i])q.push(i),val[i]=sum[i];
while(q.size())
{
int now=q.front();q.pop();
int len=e[now].size();
for(int i=0;i<len;i++)
{
int p=e[now][i];deg[p]--;
val[p]=max(val[p],val[now]+sum[p]);
if(deg[p]==0)q.push(p);
}
}
完整代码
const int inf=1e5+7;
int n,m,ans,a[inf];
int u[inf],v[inf];
int fir[inf],nex[inf],poi[inf],cnt;
void ins(int x,int y)
{
nex[++cnt]=fir[x];
poi[cnt]=y;
fir[x]=cnt;
}
int dfn[inf],low[inf],dfns;
bool in[inf];
stack<int>h;
int ks,bel[inf],sum[inf];
void Tarjan(int now)
{
in[now]=1;h.push(now);
dfn[now]=low[now]=++dfns;
for(int i=fir[now];i;i=nex[i])
{
int p=poi[i];
if(!dfn[p])
{
Tarjan(p);
low[now]=min(low[now],low[p]);
}
else if(in[p])
low[now]=min(low[now],dfn[p]);
}
if(dfn[now]==low[now])
{
int ls;ks++;
do{
ls=h.top();h.pop();in[ls]=0;
bel[ls]=ks;sum[ks]+=a[ls];
}while(ls!=now);
}
}
vector<int>e[inf];
int deg[inf],val[inf];
queue<int>q;
int main()
{
n=re();m=re();
for(int i=1;i<=n;i++)
a[i]=re();
for(int i=1;i<=m;i++)
{
u[i]=re(),v[i]=re();
ins(u[i],v[i]);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
if(!dfn[i])Tarjan(i);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int ru=bel[u[i]],rv=bel[v[i]];
if(ru==rv)continue;
e[ru].push_back(rv);
deg[rv]++;
}
for(int i=1;i<=ks;i++)
if(!deg[i])q.push(i),val[i]=sum[i];
while(q.size())
{
int now=q.front();q.pop();
int len=e[now].size();
for(int i=0;i<len;i++)
{
int p=e[now][i];deg[p]--;
val[p]=max(val[p],val[now]+sum[p]);
if(deg[p]==0)q.push(p);
}
}
for(int i=1;i<=ks;i++)
ans=max(ans,val[i]);
wr(ans,'\n');
return 0;
}
