角度值和弧度制
1rad≈57.3∘,π=180∘.
θ=lr,S=12αr2=12lr.
三角函数定义
对于坐标系上一点 P(x,y),OP 与 x 轴的夹角为 θ,则:
sinθ=yr,cosθ=xr,tanθ=yx
特殊的,对于单位圆,P 的坐标为 (cosθ,sinθ)。
同角三角函数
sin2θ+cos2θ=1
sinθcosθ=tanθ
诱导公式
- sin(2π+α)=sinαcos(2π+α)=cosαtan(2π+α)=tanα
- sin(π+α)=−sinαcos(π+α)=−cosαtan(π+α)=tanα
- sin(−α)=−sinαcos(−α)=cosαtan(−α)=−tanα
- sin(π−α)=sinαcos(π−α)=−cosαtan(π−α)=−tanα
- sin(π2−α)=cosαcos(π2−α)=sinα
- sin(π2+α)=cosαcos(π2+α)=−sinα
两角和差公式
cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ
cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ
tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ
tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ
辅助角公式
asinx+bcosx=√a2+b2(a√a2+b2sinx+b√a2+b2cosx)=√a2+b2(sinxcosφ+cosxsinφ)=√a2+b2sin(x+φ)
积化和差/和差化积
sinαcosβ=12[sin(α+β)+sin(α−β)]
cosαsinβ=12[sin(α+β)−sin(α−β)]
cosαcosβ=12[cos(α+β)+cos(α−β)]
sinαsinβ=−12[cos(α+β)−cos(α−β)]
令 θ=α+β,φ=α−β,得:
sinθ+sinφ=2sinθ+φ2sinθ−φ2
sinθ−sinφ=2cosθ+φ2sinθ−φ2
cosθ+cosφ=2cosθ+φ2cosθ−φ2
cosθ−cosφ=−2sinθ+φ2sinθ−φ2
倍/半角公式(升/降幂公式)
倍角和高幂不可兼得。
sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos2α−sin2α=1−2sin2α=2cos2α−1
tan2α=2tanα1−tan2α
sin2α=1−cos2α2
cos2α=1+cos2α2
tanα=sin2α1+cos2α=1−cos2αsin2α
解三角形
正弦定理:
asinA=bsinB=csinC=2R
余弦定理:
a2=b2+c2−2bccosA
cosA=b2+c2−a22bc
面积公式:
S=12absinC
S=√p(p−a)(p−b)(p−c),p=12(a+b+c)
射影定理:
a=bcosC+ccosB
角平分线定理(AD 为 ΔABCA 的角平分线):
ABAC=BDDC
角平分线等面积推论:
2bccosA2=AD(b+c)
万能公式(万能弦化切)
sinθ=2tanθ21+tan2θ2
tanθ=2tanθ21−tan2θ2
cosθ=1−tan2θ21+tan2θ2
不常用技巧
-
正切恒等式
若 A+B+C=nπ,则 tanA⋅tanB⋅tanC=tanA+tanB+tanC
一般在三角形中出现。
-
三倍角公式
sin3α=3sinα−4sin3α
cos3α=−3cosα+4cos3α
一般用于三角换元。
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