三角函数整合

角度值和弧度制

1rad57.3,π=180.

θ=lr,S=12αr2=12lr.

三角函数定义

对于坐标系上一点 P(x,y)OPx 轴的夹角为 θ,则:

sinθ=yr,cosθ=xr,tanθ=yx

特殊的,对于单位圆,P 的坐标为 (cosθ,sinθ)

同角三角函数

sin2θ+cos2θ=1

sinθcosθ=tanθ

诱导公式

  1. sin(2π+α)=sinαcos(2π+α)=cosαtan(2π+α)=tanα
  2. sin(π+α)=sinαcos(π+α)=cosαtan(π+α)=tanα
  3. sin(α)=sinαcos(α)=cosαtan(α)=tanα
  4. sin(πα)=sinαcos(πα)=cosαtan(πα)=tanα
  5. sin(π2α)=cosαcos(π2α)=sinα
  6. sin(π2+α)=cosαcos(π2+α)=sinα

两角和差公式

cos(αβ)=cosαcosβ+sinαsinβ

cos(α+β)=cosαcosβsinαsinβ

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ

tan(α+β)=tanα+tanβ1tanαtanβ

tan(αβ)=tanαtanβ1+tanαtanβ

辅助角公式

asinx+bcosx=a2+b2(aa2+b2sinx+ba2+b2cosx)=a2+b2(sinxcosφ+cosxsinφ)=a2+b2sin(x+φ)

积化和差/和差化积

sinαcosβ=12[sin(α+β)+sin(αβ)]

cosαsinβ=12[sin(α+β)sin(αβ)]

cosαcosβ=12[cos(α+β)+cos(αβ)]

sinαsinβ=12[cos(α+β)cos(αβ)]

θ=α+β,φ=αβ,得:

sinθ+sinφ=2sinθ+φ2sinθφ2

sinθsinφ=2cosθ+φ2sinθφ2

cosθ+cosφ=2cosθ+φ2cosθφ2

cosθcosφ=2sinθ+φ2sinθφ2

倍/半角公式(升/降幂公式)

倍角和高幂不可兼得。

sin2α=2sinαcosα

cos2α=cos2αsin2α=12sin2α=2cos2α1

tan2α=2tanα1tan2α

sin2α=1cos2α2

cos2α=1+cos2α2

tanα=sin2α1+cos2α=1cos2αsin2α

解三角形

正弦定理:

asinA=bsinB=csinC=2R

余弦定理:

a2=b2+c22bccosA

cosA=b2+c2a22bc

面积公式:

S=12absinC

S=p(pa)(pb)(pc),p=12(a+b+c)

射影定理:

a=bcosC+ccosB

角平分线定理(ADΔABCA 的角平分线):

ABAC=BDDC

角平分线等面积推论:

2bccosA2=AD(b+c)

万能公式(万能弦化切)

sinθ=2tanθ21+tan2θ2

tanθ=2tanθ21tan2θ2

cosθ=1tan2θ21+tan2θ2

不常用技巧

  1. 正切恒等式

    A+B+C=nπ,则 tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC

    一般在三角形中出现。

  2. 三倍角公式

    sin3α=3sinα4sin3α

    cos3α=3cosα+4cos3α

    一般用于三角换元。

posted @   Zvelig1205  阅读(168)  评论(0编辑  收藏  举报
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