三角函数整合

角度值和弧度制

$1rad\approx 57.3^{\circ},\pi=180^{\circ}.$

$\theta=\dfrac{l}{r},S=\dfrac{1}{2}\alpha r^2=\dfrac12lr.$

三角函数定义

对于坐标系上一点 $P(x,y)$ ， $OP$ 与 $x$ 轴的夹角为 $\theta$ ，则：

\sin θ = \frac{y}{r}, \cos θ = \frac{x}{r}, \tan θ = \frac{y}{x}

$\sin \theta =\dfrac{y}{r},\cos \theta =\dfrac{x}{r},\tan \theta =\dfrac{y}{x}$

特殊的，对于单位圆， $P$ 的坐标为 $(\cos\theta,\sin\theta)$ 。

同角三角函数

\sin^{2} θ + \cos^{2} θ = 1

$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$

\frac{\sin θ}{\cos θ} = \tan θ

$\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\tan\theta$

诱导公式

$\sin(2\pi+\alpha)=\sin\alpha\\\cos(2\pi+\alpha)=\cos\alpha\\\tan(2\pi+\alpha)=\tan\alpha$
$\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha\\\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha\\\tan(\pi+\alpha)=\tan\alpha$
$\sin(-\alpha)=-\sin\alpha\\\cos(-\alpha)=\cos\alpha\\\tan(-\alpha)=-\tan\alpha$
$\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha\\\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha\\\tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha$
$\sin(\dfrac\pi2-\alpha)=\cos\alpha\\\cos(\dfrac\pi2-\alpha)=\sin\alpha$
$\sin(\dfrac\pi2+\alpha)=\cos\alpha\\\cos(\dfrac\pi2+\alpha)=-\sin\alpha$

两角和差公式

$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$

$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$

$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$

$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$

$\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$

$\tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$

辅助角公式

\begin{array}{ll} a \sin x + b \cos x & = \sqrt{a^{2} + b^{2}} (\frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \sin x + \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \cos x) \\ = \sqrt{a^{2} + b^{2}} (\sin x \cos φ + \cos x \sin φ) \\ = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \sin (x + φ) \end{array}

$\begin{array}{ll} a\sin x+b\cos x &=\sqrt{a^2+b^2}(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x+\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x)\\ &=\sqrt{a^2+b^2}(\sin x\cos\varphi+\cos x\sin\varphi)\\ &=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi) \end{array}$

积化和差/和差化积

$\sin \alpha \cos \beta =\dfrac{1}{2} \left[\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )\right ]$

$\cos \alpha \sin \beta =\dfrac{1}{2} \left[\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )\right ]$

$\cos \alpha \cos \beta =\dfrac{1}{2} \left[\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )\right ]$

$\sin \alpha \sin \beta =-\dfrac{1}{2} \left[\cos (\alpha +\beta )-\cos (\alpha -\beta )\right ]$

令 $\theta =\alpha +\beta ,\varphi=\alpha -\beta$ ，得：

$\sin \theta +\sin \varphi =2\sin \dfrac{\theta +\varphi }{2} \sin \dfrac{\theta -\varphi}{2}$

$\sin \theta -\sin \varphi =2\cos \dfrac{\theta +\varphi }{2} \sin \dfrac{\theta -\varphi}{2}$

$\cos \theta +\cos \varphi =2\cos \dfrac{\theta +\varphi }{2} \cos \dfrac{\theta -\varphi}{2}$

$\cos \theta -\cos \varphi =-2\sin \dfrac{\theta +\varphi }{2} \sin \dfrac{\theta -\varphi}{2}$

倍/半角公式（升/降幂公式）

倍角和高幂不可兼得。

$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$

$\begin{array}{ll} \cos 2\alpha &=\cos ^2\alpha -\sin ^2\alpha \\ &=1-2\sin ^2\alpha \\ &=2\cos ^2\alpha -1 \end{array}$

$\tan 2\alpha =\dfrac{2\tan \alpha }{1-\tan ^2\alpha }$

$\sin ^2\alpha =\dfrac{1-\cos 2\alpha }{2}$

$\cos ^2\alpha =\dfrac{1+\cos 2\alpha }{2}$

$\tan \alpha =\dfrac{\sin 2\alpha }{1+\cos 2\alpha }=\dfrac{1-\cos 2\alpha }{\sin 2\alpha }$

解三角形

正弦定理：

$\dfrac{a}{\sin A}= \dfrac{b}{\sin B}= \dfrac{c}{\sin C} =2R$

余弦定理：

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$

$\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

面积公式：

$S=\dfrac{1}{2} ab\sin C$

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},p=\dfrac{1}{2}(a+b+c)$

射影定理：

$a=b\cos C+c\cos B$

角平分线定理（ $AD$ 为 $\Delta ABC\;A$ 的角平分线）：

$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{DC}$

角平分线等面积推论：

$2bc\cos\dfrac{A}{2}=AD(b+c)$

万能公式（万能弦化切）

$\sin \theta =\dfrac{2\tan \frac{\theta }{2} }{1+\tan ^2\frac{\theta }{2} }$

$\tan\theta =\dfrac{2\tan \frac{\theta }{2} }{1-\tan ^2\frac{\theta }{2} }$

$\cos \theta =\dfrac{1-\tan ^2\frac{\theta }{2} } {1+\tan ^2\frac{\theta }{2} }$

不常用技巧

正切恒等式

若 $A+B+C=n\pi$ ，则 $\tan A\cdot \tan B\cdot \tan C=\tan A+\tan B+\tan C$

一般在三角形中出现。
三倍角公式

$\sin 3\alpha =3\sin \alpha -4\sin ^3\alpha$

$\cos 3\alpha =-3\cos \alpha +4\cos ^3\alpha$

一般用于三角换元。