不等式专项
重要不等式
\(a^2+b^2\ge 2ab\)
当且仅当 \(a=b\) 时等号成立。
例 1
在 \(\Delta ABC\) 中，\(\angle B=\dfrac{\pi}{3},b=2\)，求 \(S_{\Delta ABC}\) 面积的最大值。
解：
由余弦定理推论：\(\cos B=\dfrac{a^2+c^2-4}{2ac}=\dfrac12\)
\(a^2+c^2-4=ac\ge 2ac-4\)
\(ac\le4\)
则 \(S=\dfrac12ac\sin B\le\sqrt3\)
基本不等式
\(a\ge0,b\ge0\Rightarrow\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
当且仅当 \(a=b\) 时等号成立。
例 2
若 \(a,b>0\)，且 \(a+b=1\)，求 \(\dfrac{1}{4a}+\dfrac{1}{9b}\) 的最小值。
解：
\(\begin{array}{ll} \dfrac{1}{4a}+\dfrac{1}{9b} &=1\times(\dfrac{1}{4a}+\dfrac{1}{9b})\\ &=(a+b)\times(\dfrac{1}{4a}+\dfrac{1}{9b})\\ &=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{b}{4a}+\dfrac{a}{9b}\\ &\ge\dfrac{13}{36}+2\sqrt{\dfrac{b}{4a}\times\dfrac{a}{9b}}\\ &=\dfrac{25}{36} \end{array}\)
糖水不等式
\(a>b>0,m>0\Rightarrow\dfrac{b}{a}<\dfrac{b+m}{a+m}\)
理解：在糖水中加糖，糖水变甜。
例 3
数列 \(a_n=\dfrac{3^n-1}{2}\)，求证 \(\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{a_i}<\dfrac32\)
证明：
\(\dfrac{1}{a_n}=\dfrac2{3^n-1}<\dfrac{2+1}{3^n-1+1}=\dfrac{3}{3^n}=3^{1-n}\)
令 \(b_n=3^{1-n}\)
则 \(\{b_n\}\) 首项 \(\dfrac{1}{a_1}=1\)，公比为 \(3^{-1}\)
\(\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{a_i}<\displaystyle\sum_{i=1}^nb_i=S_n=1\times\dfrac{1-3^{-n}}{1-3^{-1}}<\dfrac32\)
故 \(\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{a_i}<\dfrac32\)
\(Q.E.D.\)
均值不等式
\(a>0,b>0\Rightarrow\dfrac{2}{\frac1a+\frac1b}\le\sqrt{ab}\le\dfrac{a+b}{2}\le\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}\)
当且仅当 \(a=b\) 时等号成立。
拓展：
\(\text{调和均值：}H_{n}=\dfrac{n}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{x_{i}}}= \dfrac{n}{\dfrac{1}{x_{1}}+ \dfrac{1}{x_{2}}+ \cdots + \dfrac{1}{x_{n}}} \\\)
\(\text{几何均值：}G_{n}=\sqrt[n]{\displaystyle\prod_{i=1}^{n}x_{i}}= \sqrt[n]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}} \\\)
\(\text{算数均值：}A_{n}=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}=\dfrac{x_{1}+ x_{2}+ \cdots + x_{n}}{n} \\\)
\(\text{平方均值：}Q_{n}=\sqrt{\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}= \sqrt{\dfrac{x_{1}^{2}+ x_{2}^{2}+ \cdots + x_{n}^{2}}{n}} \\\)
\(H_{n}\leq G_{n}\leq A_{n}\leq Q_{n}\)
当且仅当 \(a_1=a_2=\cdots =a_n\) 时等号成立。
例 4
若 \(x,y,z>0,xyz+y+z=12\)，求 \(\log_4x+\log_2y+\log_2z\) 的最大值。
解：
\(\begin{array}{ll} \log_4x+\log_2y+\log_2z &=\log_4x+\log_4y^2+\log_4z^2\\ &=\log_4xy^2z^2\\ &\le\log_4(\dfrac{xyz+y+z}3)^3\\ &=3 \end{array}\)
幂平均不等式
\(\alpha>\beta\Rightarrow (\dfrac1n\displaystyle\sum_{i=1}^na^{\alpha})^{\frac1{\alpha}}\ge(\dfrac1n\displaystyle\sum_{i=1}^nb^{\beta})^{\frac1{\beta}}\)
例 5
若 \(x\in[0,\frac{\pi}{2}]\)，求 \(\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}\) 的最大值。
解：
\(\begin{array}{rl} (\dfrac{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}}2)^2&\le (\dfrac{\sin^2 x+\cos^2 x}2)^{\frac12}\\ &=(\dfrac12)^{\frac12}\\ \sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}&\le 2\times (\dfrac12)^{\frac14}\\ &=2^{\frac34} \end{array}\)
对数不等式
\(a>0,b>0\Rightarrow\sqrt{ab}\le\dfrac{a-b}{\ln a -\ln b}\le\dfrac{a+b}{2}\)
例 6
已知 \(f(x)=x-a\ln x\)，若 \(f(x_1)=f(x_2)=k\)，求证 \(x_1+x_2>2a\)。
证明：
\(\because f(x_1)=f(x_2)\)
\(\therefore x_1-a\ln x_1=x_2-a\ln x_2\)
\(\therefore x_1-x_2=a\ln x_1-a\ln x_2\)
\(\therefore \dfrac{x_1-x_2}{a(\ln x_1-\ln x_2)}=1\)
\(\therefore \dfrac{x_1-x_2}{a(\ln x_1-\ln x_2)}=1<\dfrac{x_1+x_2}{2a}\)
\(\therefore x_1+x_2>2a\)
\(Q.E.D.\)
绝对值的三角不等式
\(||a|-|b||\le|a\pm b|\le|a|+|b|\)
\(a,b\) 可以是实数，复数，向量等。
例 7
已知函数 \(f(x)=|x-a|+|x+3|\)，若 \(f(x)>-a\)，求 \(a\) 的取值范围。
解：
\(f(x)=|x-a|+|x+3|\ge|x-a-x-3|=|-a-3|\)
\(\therefore f(x)_ {\min}=|-a-3|\)
\(\because f(x)>-a\)
\(\therefore f(x)_ {\min}>-a\)
\(\therefore |-a-3|>-a\)
\(\therefore (-a-3)^2>(-a)^2\)
\(\therefore a>-\dfrac32\)
切线不等式
\(e^x\ge x+1>x>x-1\ge\ln x\)
当 \(x=0\) 时前者等号成立，当 \(x=1\) 时后者等号成立
又名“方天画戟”
例 8
已知 \(f(x)=e^x-\ln(x+m)\)，当 \(m\le2\) 时，求证 \(f(x)>0\)。
证明：
\(f(x)=e^x-\ln(x+m)>(x+1)-(x+m-1)=2-m\)
等号不同时成立，不取等
\(\because m\le2\)
\(\therefore 2-m\ge0\)
\(\therefore f(x)>2-m\ge0\)
\(Q.E.D.\)
柯西不等式
一般形式
\((\displaystyle\sum_{i=1}^na_i^2)(\displaystyle\sum_{i=1}^nb_i^2)\ge(\displaystyle\sum_{i=1}^na_ib_i)^2\)
当且仅当 \(\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}=\cdots=\dfrac{a_n}{b_n}\) 时等号成立
二维形式
\((a^2+b^2)(c^2+d^2)\ge(ac+bd)^2\)
当且仅当 \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\) 时等号成立
推论 1
\(\displaystyle\sum_{i=1}^na_i^2\ge\dfrac1n(\displaystyle\sum_{i=1}^na_i)^2\)
当且仅当 \(a_1=a_2=\cdots=a_n\) 时等号成立
推论 2
\(\sqrt{(\displaystyle\sum_{i=1}^na_i^2)(\displaystyle\sum_{i=1}^nb_i^2)}\ge\displaystyle\sum_{i=1}^na_ib_i\)
当且仅当 \(\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}=\cdots=\dfrac{a_n}{b_n}\) 时等号成立
推广：赫尔德公式
\(n\ge 2,p>1\text{且}\dfrac1p+\dfrac1q=1\)
\((\displaystyle\sum_{i=1}^na_i^2)^{\frac1p}(\displaystyle\sum_{i=1}^nb_i^2)^{\frac1q}\ge\displaystyle\sum_{i=1}^na_ib_i\)
当且仅当 \(\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}=\cdots=\dfrac{a_n}{b_n}\) 时等号成立
例 9
已知 \(x+y+z=1\)，求 \((x-1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2\) 的最小值。
解：
\((x-1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2\ge\dfrac13[(x-1)+(y+1)+(z+1)]^2=\dfrac43\)
权方和不等式
\(a_i,b_i>0\Rightarrow\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac{a_i^2}{b_i}\ge\dfrac{(\sum\limits_{i=1}^na_i)^2}{\sum\limits_{i=1}^nb_i}\)
当且仅当 \(\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}=\cdots=\dfrac{a_n}{b_n}\) 时等号成立
其实权方和不等式也是柯西不等式的推论
观察柯西不等式
\((\displaystyle\sum_{i=1}^na_i^2)(\displaystyle\sum_{i=1}^nb_i^2)\ge(\displaystyle\sum_{i=1}^na_ib_i)^2\)
若 \(a_i\to \dfrac{a_i}{\sqrt {b_i}},b_i\to\sqrt{b_i}\)
\((\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac{a_i^2}{b_i})(\displaystyle\sum_{i=1}^nb_i)\ge(\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac{a_i}{\sqrt{b_i}}\sqrt{b_i})^2=(\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i)^2\)
\(\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac{a_i^2}{b_i}\ge\dfrac{(\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i)^2}{(\displaystyle\sum_{i=1}^nb_i)}\)
推广：
\(a_i,b_i>0,m>0,\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac{a_i^{m+1}}{b_i^m}\ge\dfrac{(\sum\limits_{i=1}^na_i)^{m+1}}{(\sum\limits_{i=1}^nb_i)^m}\)
当且仅当 \(\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}=\cdots=\dfrac{a_n}{b_n}\) 时等号成立
例 10
已知 \(x+y=1,x>0,y>0\)，求 \(\dfrac1{x^2}+\dfrac8{y^2}\) 的最小值。
解：
\(\dfrac1{x^2}+\dfrac8{y^2}=\dfrac{1^3}{x^2}+\dfrac{2^3}{y^2}\ge\dfrac{(1+2)^3}{(x+y)^2}=27\)
排序不等式
若 \(a_1\le a_2\le \cdots \le a_n\) 且 \(b_1\le b_2\le \cdots \le b_n\)
设 \(\{t\}\) 是 \({1,2\cdots n}\) 的一个排列
则有 \(a_1b_n+a_2b_{n-1}+\cdots a_nb_1\le a_1b_{t_1}+a_2b_{t_2}+\cdots+a_nb_{t_n}\le a_1b_1+a_2b_2+\cdots a_nb_n\)
当且仅当 \(a_1=a_2=\cdots=a_n\) 或 \(b_1=b_2=\cdots=b_n\) 时等号成立
简记：\(\text{反序和}\le\text{乱序和}\le\text{正序和}\)
例 11
已知 \(a,b,c,d>0\)，求证：\(a^ab^bc^cd^d>a^db^cc^bd^a\)
证明：
要证 \(a^ab^bc^cd^d>a^db^cc^bd^a\)
即证 \(\ln a^ab^bc^cd^d>\ln a^db^cc^bd^a\)
即证 \(a\ln a+b\ln b+c\ln c+d\ln d>d\ln a+c\ln b+b\ln c+a\ln d\)
不妨设 \(a\le b\le c\le d\)，则显然 \(\ln a\le\ln b\le\ln c\le\ln d\)
由排序不等式，显然 \(a\ln a+b\ln b+c\ln c+d\ln d>d\ln a+c\ln b+b\ln c+a\ln d\) 成立
故 \(a^ab^bc^cd^d>a^db^cc^bd^a\)
\(Q.E.D.\)
琴生不等式
若 \(f(x)\) 在 \((a,b)\) 上为凸函数，则有 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\in(a,b)\)，满足 \(\dfrac1n\displaystyle\sum_{i=1}^nf(x_i)\le f(\dfrac1n\displaystyle\sum_{i=1}^nx_i)\)
若 \(g(x)\) 在 \((a,b)\) 上为凹函数，则有 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\in(a,b)\)，满足 \(\dfrac1n\displaystyle\sum_{i=1}^ng(x_i)\ge g(\dfrac1n\displaystyle\sum_{i=1}^nx_i)\)
当且仅当 \(x_1=x_2=\cdots=x_n\) 时等号成立
例 12
若 \(a+2b=12\)，求 \(2^a+2^{b+1}\) 的最小值。
解：
\(2^a+2^{b+1}=2^a+2^b+2^b\)
令 \(f(x)=2^x\)，显然 \(f(x)\) 是凹函数
\(f(a)+f(b)+f(b)>3\times f(\dfrac{a+b+b}{3})=3\times f(4)=48\)
\(2^a+2^{b+1}>48\)
伯努利不等式
若 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\in(-1,0)\cup(0,+\infty)\) 且同号
则 \((1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n)>1+x_1+x_2+\cdots+x_n\)
推论：
\(x\in(-1,0)\cup(0,+\infty),(1+x)^n>1+nx\)
例 13
若 \(e_n=(1+\dfrac1n)^n(n\in N_+)\)，求证：数列 \(\{e_n\}\) 严格递增。
证明：
\(\begin{array}{ll} \dfrac{e_{n+1}}{e_n}&=\dfrac{(\frac{n+2}{n+1})^{n+1}}{(\frac{n+1}{n})^n}\\ &=(\dfrac{n+2}{n+1})[\dfrac{n(n+2)}{(n+1)^2}]^n\\ &=(\dfrac{n+2}{n+1})(\dfrac{n^2+2n}{n^2+2n+1})^n\\ &=(\dfrac{n+2}{n+1})[1-\dfrac{1}{(n+1)^2}]^n\\ &>(\dfrac{n+2}{n+1})[1-\dfrac{n}{(n+1)^2}]\\ &=(\dfrac{n+2}{n+1})[\dfrac{(n+1)^2-n}{(n+1)^2}]\\ &=\dfrac{(n+2)(n+1)^2-n(n+2)}{(n+1)^3}\\ &=\dfrac{n^3+3n^2+3n+2}{n^3+3n^2+3n+1}\\ &=1+\dfrac{1}{n^3+3n^2+3n+1}\\ &>1 \end{array}\)
故 \(e_{n+1}>e_n\)
\(Q.E.D.\)
切比雪夫不等式
若随机变量 \(X\) 有期望 \(E(X)\) 和方差 \(D(X)\)，对于任意的正数 \(\xi\)，满足 \(P(|X-E(X)|\ge\xi)\le\dfrac{D(X)}{\xi^2}\)
例 14
已知正常男性成年人血液中每毫升白细胞数的平均值为 7300，标准差为 700，则每毫升血液中含有的白细胞数在 5200~9400 之间的概率。
解：
\(\begin{array}{ll} P(5200\le X\le 9400)&=P(5200-7300\le X-7300\le 9400-7300)\\ &=P(|X-7300|\le2100)\\ &=1-P(|X-7300|\ge2100)\\ &\ge1-\dfrac{D(X)}{2100^2}\\ &=\dfrac89 \end{array}\)
舒尔不等式
\(a,b,c\ge0,r\in R\Rightarrow a^r(a-b)(a-c)+b^r(b-a)(b-c)+c^r(c-a)(c-b)\ge0\)
当且仅当 \(a=b=c\) 或 \(a=b,c=0\) 时等号成立。
三次舒尔（\(r=1\)）：\(a^3+b^3+c^3+3abc\ge a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)\)
四次舒尔（\(r=2\)）：\(a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c)\ge a^3(b+c)+b^3(a+c)+c^3(a+b)\)
例 15
已知 \(x,y,z\ge0,x+y+z=1\)，求证 \(0\le xy+yz+zx-2xyz\le\dfrac{7}{27}\)
证明：
\(xy+yz+zx-2xyz=y(x+z-2xz)+xz\ge y(2\sqrt{xz}-2xz)+xz\ge0\)
由三次舒尔 \(x^3+y^3+z^3+3xyz\ge x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y)\)
\(\therefore x^3+y^3+z^3+3xyz+3x^2y+3x^2z+3y^2x+3y^2z+3z^2x+3z^2y+12xyz\ge 4x^2y+4x^2z+4y^2x+4y^2z+4z^2x+4z^2y+12xyz\)
即 \((x+y+z)^3+9xyz\ge 4(x+y+z)(xy+yz+zx)\)
\(\because x+y+z=1\)
\(\therefore 1+9xyz\ge 4(xy+yz+zx)\)
\(\therefore 1+xyz\ge 4(xy+yz+zx-2xyz)\)
由均值不等式
\(xyz\le(\dfrac{x+y+z}{3})^3=\dfrac1{27}\)
\(\therefore 4(xy+yz+zx-2xyz)\le\dfrac{28}{27}\)
\(\therefore xy+yz+zx-2xyz\le\dfrac{7}{27}\)
故 \(0\le xy+yz+zx-2xyz\le\dfrac{7}{27}\)
\(Q.E.D.\)
