【学习笔记】搜索与枚举

合集 - 学习笔记(16)

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4.【学习笔记】搜索与枚举2024-02-01

5.【学习笔记】字符串2024-02-046.【学习笔记】线性代数2024-02-047.【学习笔记】数据结构2024-02-168.【学习笔记】树链剖分2024-03-029.【学习笔记】组合数学2024-07-1510.【学习笔记】数论2024-07-1511.【学习笔记】平衡树2024-07-1712.【学习笔记】杂项2024-01-3013.【学习笔记】计算几何2024-08-1314.【学习笔记】dp2024-11-1915.【学习笔记】树分治2024-12-0916.【学习笔记】博弈论02-23

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1.启发式搜索（A*）

对于一个搜索状态 $x$，令 $h(x)$ 为它到实际答案的步数，我们给它一个估价 $f(x)=g(x)+H(x)$。其中 $g(x)$ 为搜到当前状态的步数，$H(x)$ 为这个状态到目标状态的预估步数。

如果预估函数写得好能够在很短的时间内得到解。但是要保证 $H(x)\le h(x)$。

流程就是搞成一个优先队列然后每次把 $f(x)$ 最小的点拿出来扩展。

第一个扩展出来的一定是最优解。

证明：

令现在出来的解是 $x$，它是由 $z$ 扩展出来的，那么 $H(z)=h(z)$。因为只剩一条路只要你的预估函数有一点智商都会走这个，所以此时的 $f(z)$ 是真实值。

也就是说走到 $x$ 之前的 $f(z)$ 全部是真实值，所以我们出来的第一个解就是最优解。

2.迭代加深

不考虑空间的情况下不如广搜。

考虑广搜的实质是空间换时间，dfs 的劣势在可能答案很近但是直接跑开了。

所以我们限制 dfs 层数 $d$，传东西的时候传 $d$ 下去，超出限制直接返回。搜到解退出，不然 $d+1$ 再搜。

可以发现会有很多重复的搜索，但是理性考虑一下，我们每一次拓展至少要拓宽两倍，那么我们重复多搜一次也没有太大的关系。

相比于 bfs 优点在于空间需求小，而且 不需要保存状态。

3.常见的搜索枚举

• 子集枚举

普通子集枚举是 $2^n$ 的，然后枚举自己内子集（就是对于每个枚举出来的子集 $S$ 枚举它的子集）可以做到 $3^n$。不会证，但是大概不需要证。

在状压的优化枚举速度里面有很大的建树。

for(int S=0;S<(1<<n);S++)for(int T=S;T;T=(T-1)&S)do sth;