【学习笔记】搜索与枚举

1.启发式搜索（A*）

对于一个搜索状态 \(x\)，令 \(h(x)\) 为它到实际答案的步数，我们给它一个估价 \(f(x)=g(x)+H(x)\)。其中 \(g(x)\) 为搜到当前状态的步数，\(H(x)\) 为这个状态到目标状态的预估步数。

如果预估函数写得好能够在很短的时间内得到解。但是要保证 \(H(x)\le h(x)\)。

流程就是搞成一个优先队列然后每次把 \(f(x)\) 最小的点拿出来扩展。

第一个扩展出来的一定是最优解。

证明：

令现在出来的解是 \(x\)，它是由 \(z\) 扩展出来的，那么 \(H(z)=h(z)\)。因为只剩一条路只要你的预估函数有一点智商都会走这个，所以此时的 \(f(z)\) 是真实值。

也就是说走到 \(x\) 之前的 \(f(z)\) 全部是真实值，所以我们出来的第一个解就是最优解。

2.迭代加深

不考虑空间的情况下不如广搜。

考虑广搜的实质是空间换时间，dfs 的劣势在可能答案很近但是直接跑开了。

所以我们限制 dfs 层数 \(d\)，传东西的时候传 \(d\) 下去，超出限制直接返回。搜到解退出，不然 \(d+1\) 再搜。

可以发现会有很多重复的搜索，但是理性考虑一下，我们每一次拓展至少要拓宽两倍，那么我们重复多搜一次也没有太大的关系。

相比于 bfs 优点在于空间需求小，而且 不需要保存状态。

3.常见的搜索枚举

• 子集枚举

普通子集枚举是 \(2^n\) 的，然后枚举自己内子集（就是对于每个枚举出来的子集 \(S\) 枚举它的子集）可以做到 \(3^n\)。不会证，但是大概不需要证。

for(int S=0;S<(1<<n);S++)for(int T=S;T;T&=(T-1))do sth;

不记得是不是这个了。