[bzoj1002][FJOI2007]轮状病毒-题解[基尔霍夫矩阵][高精度][递推]

Description

　　轮状病毒有很多变种，所有轮状病毒的变种都是从一个轮状基产生的。一个N轮状基由圆环上N个不同的基原子
和圆心处一个核原子构成的，2个原子之间的边表示这2个原子之间的信息通道。如下图所示

　　N轮状病毒的产生规律是在一个N轮状基中删去若干条边，使得各原子之间有唯一的信息通道，例如共有16个不
同的3轮状病毒，如下图所示

　　现给定n(N<=100)，编程计算有多少个不同的n轮状病毒

 

Input

　　第一行有1个正整数n

Output

　　计算出的不同的n轮状病毒数输出

Sample Input

3

Sample Output

16

---

首先明确一个事情，这个题与基尔霍夫矩阵有关，但是并不能用基尔霍夫矩阵做，原因等下讲。

对于一个图，我们令它的度数矩阵为D(D[i,i]表示点i的度数，其他为0)，令它的邻接矩阵为A(A[i,j]表示i是否有一条边连向j)

其基尔霍夫矩阵为D-A。

基尔霍夫矩阵可用于一个图的生成树计数，具体做法是去掉任意一行与任意一列，剩下的即是一个行列式，它左上到右下的对角线上的值的乘积就是该图生成树的数目(我真的不知道证明。。)，利用高斯消元将其变为上三角行列式然后求解即可。

但是很容易发现当n比较大时所得到的值是很大的，必须要用高精度，但是用基尔霍夫矩阵直接使用高斯消元求解是极其复杂的，所以我们不能直接用它求解。

然后我们发现这个题得到的基尔霍夫矩阵都是类似的，然后我们可以尝试找规律。

F(n) = 3*F(n - 1) - F(n - 2) + 2

有关规律的证明可以去看vfleaking的博客,有关基尔霍夫矩阵的可以去看周冬的论文,或者某阮的博客（推荐看前者）。

上代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
using namespace std;
inline int read()
{
    char ch=getchar();int kin=1,gi=0;
    while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')kin=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){gi=gi*10+ch-48;ch=getchar();}
    return gi*kin;
}
struct big
{
    int num[105];
    int siz;
    big operator *(int x)
    {
        big tmp=*this;
        for(int i=1;i<=tmp.siz;++i)
        {
            tmp.num[i]*=x;
        }
        for(int j=1;j<=tmp.siz;++j)if(tmp.num[j]>=10)tmp.num[j+1]+=tmp.num[j]/10,tmp.num[j]%=10;
        while(tmp.num[tmp.siz+1]!=0)tmp.siz++;
        return tmp;
    }
    big operator +(int x)
    {
        big tmp=*this;
        tmp.num[1]+=x;
        for(int j=1;j<=tmp.siz;++j)if(tmp.num[j]>=10)tmp.num[j+1]+=tmp.num[j]/10,tmp.num[j]%=10;
        while(tmp.num[tmp.siz+1]!=0)tmp.siz++;
        return tmp;
    }
    big operator -(big d)
    {
        big tmp=*this;
        for(int i=1;i<=min(d.siz,tmp.siz);++i)
        {
            if(tmp.num[i]<d.num[i])tmp.num[i+1]-=1,tmp.num[i]+=10;
            if(tmp.num[i]>=d.num[i])tmp.num[i]-=d.num[i];
        }
        siz=max(d.siz,tmp.siz);
        while(tmp.num[siz]==0)siz--;
        return tmp;
    }
}a[105];
int n,ans=1;
int main()
{
    a[1].num[1]=1,a[2].num[1]=5;a[1].siz=a[2].siz=1;
    n=read();
    for(int i=2;i<n;++i)
    {
        a[i+1]=a[i]*3-a[i-1]+2;
    }
    for(int i=a[n].siz;i>0;--i)printf("%d",a[n].num[i]);
}