最长公共上升子序列（未完成）

最长上升子序列

【题目描述】：
给定一个长度为$N$的数列，求数值严格单调递增的子序列的长度最长是多少

第一阶段

$1\leq N \leq 1000$
做法：我们可以考虑直接暴力求解。
$Code$:

/*
 by : Zmonarch 
 知识点 ； 最长上升子序列
 做法： force 
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#define int long long 
using namespace std ; 
const int kmaxn = 1e6 + 10 ;
inline int read() 
{
	int x = 0 , f = 1 ; char ch = getchar() ;
	while(!isdigit(ch)) { if(ch == '-') f = - 1 ; ch = getchar() ; }
	while( isdigit(ch)) { x = x * 10 + ch - '0' ; ch = getchar() ; }
	return x * f ;
} 
int a[kmaxn] , n ;
int f[kmaxn] ;   
signed main()
{
	n = read() ; 
	for(int i = 1 ; i <= n ; i++) a[i] = read() ; 
	for(int i = 1 ; i <= n ; i++) 
	{
		f[i] = 1 ; 
		for(int j = 1 ; j < i ; j++) 
		{
			if(a[i] > a[j]) 
			{
				f[i] = max(f[i] , f[j] + 1) ; 
			}
		}
	}
	int ans = 1 ; 
	for(int i = 1 ; i <= n ; i++) ans = max(f[i] , ans) ; //最长上升子序列不一定以n结尾 
	printf("%lld\n" , ans) ; 
	return 0 ; 
}

第二阶段

$1\leq N \leq 10^6$
我们发现$N$有点大，上方$O(N^2)$做法会$TLE$，为了防止这种情况的出现，我们考虑优化，显然$O(N logN)$对于$10^6$是可过的，那么我们可以考虑进行数据结构优化。那么我们也可以仔细的观察一下状态转移
$f_{i} = max(f_j + 1 , f_i)$,
这个式子比较好，我看不出来任何单调性，所以考虑树状数组暴力平摊$logN$的复杂度去寻找$f_j$的最大值，

对于数据结构优化$DP$,不需要什么脑子，全是套路，可以尝试着理解这种套路，自然也可以直接背过。
$Code$:

/*
 by : Zmonarch
 知识点 ； 最长上升子序列
 做法： 树状数组优化 
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#define int long long
#define lowbit(x) x&(-x)
using namespace std ;
const int kmaxn = 1e6 + 10 ;
inline int read()
{
	int x = 0 , f = 1 ; char ch = getchar() ;
	while(!isdigit(ch)) { if(ch == '-') f = - 1 ; ch = getchar() ; }
	while( isdigit(ch)) { x = x * 10 + ch - '0' ; ch = getchar() ; }
	return x * f ;
}
int n , a[kmaxn] , f[kmaxn] ;
int v[kmaxn] ;   
void update(int x , int val) 
{
	for(int i = x ; i <= n ; i += lowbit(i)) 
	{
		f[i] = max(f[i] , val) ;
	}
}
int query(int x ) 
{
	int ans = 0 ; 
	for(int i = x ; i ; i -= lowbit(i)) 
	{
		ans = max(ans , f[i]) ; 
	}
	return ans ; 
}
signed main()
{
	n = read() ; 
	int ans = 0 ; 
	for(int i = 1 ; i <= n ; i++) a[i] = read() , v[i] = a[i] ; 
	sort(v + 1 , v + n + 1 ) ; 
	int len = (v + 1 , v + n + 1 ) - v ; 
	for(int i = 1 ; i <= n ; i++) 
	{
		int p = lower_bound(v , v + len , a[i]) - v + 1 ; 
		ans = max(ans , query(p - 1) + 1) ;
		update(p , query(p - 1) + 1 ) ; 
	}
	printf("%lld\n" , ans) ; 
	return 0 ;
}

第三阶段

【题目描述】：
给定一个序列，初始为空。
现在我们将 $1$ 到 $N$ 的数字插入到序列中，每次将一个数字插入到一个特定的位置。
每插入一个数字，我们都想知道此时最长上升子序列长度是多少？
【输入格式】：
第一行一个整数 $N$，表示我们要将 $1$ 到 $N$ 插入序列中。

第二行 $N$ 个数字，第 $k$ 个数字 $X_k$，表示我们将 k 插入到位置 $X_k$。

【$solution$】:
考查点：平衡树+线段树，笔者不会平衡树

最长公共子序列

给定两个长度分别为$N$和$M$的字符串$A$和$B$，求既是$A$的子序列又是$B$的子序列的字符串长度最长是多少。

第一阶段

$n,m\leq 1000$
发现$n,m$非常小，考虑直接$force$

/*
 by : Zmonarch
 知识点 ； 最长上升子序列
 做法： force
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#define int long long
using namespace std ;
const int kmaxn = 1e3 + 10 ;
inline int read()
{
	int x = 0 , f = 1 ; char ch = getchar() ;
	while(!isdigit(ch)) { if(ch == '-') f = - 1 ; ch = getchar() ; }
	while( isdigit(ch)) { x = x * 10 + ch - '0' ; ch = getchar() ; }
	return x * f ;
}
int n , m ; 
int f[kmaxn][kmaxn] ; 
char a[kmaxn] , b[kmaxn] ; 
signed main()
{
	n = read() , m = read() ;
	cin >> a + 1 ;
	cin >> b + 1 ;  
	/*for(int i = 1 ; i <= n ; i++) a[i] = read() ; 这里也是可以转化为
	//int的，一样
	//处理
	for(int j = 1 ; j <= n ; j++) b[j] = read() ;*/
	for(int i = 1 ; i <= n ; i++) 
	{
		for(int j = 1 ; j <= m ; j++) 
		{
			if(a[i] == b[j]) 
			{
				f[i][j] =  f[i - 1][j - 1] + 1 ; 
			}
			else 
			{
				f[i][j] = max(f[i - 1][j] , f[i][j - 1]) ;
			}
		}
	}
	printf("%lld\n" , f[n][m] ) ; 
	return 0 ;
}

第二阶段

【$description$】:
字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地（不一定连续）去掉若干个字符（可能一个也不去掉）后所形成的字符序列。
令给定的字符序列 $X=x_0x_1…x_{m-1}$，序列 $Y=y_0y_1…y_{k-1}$ 是 $X$ 的子序列，存在 $X$ 的一个严格递增下标序列 $i_0,i_1,…,i_{k-1}$ ，使得对所有的 $j=0,1,…,k-1$，有 $x_{i_j} = y_j$。
例如，$X=ABCBDAB$，$Y=BCDB$ 是 $X$ 的一个子序列。
对给定的两个字符序列，求出他们最长的公共子序列长度，以及最长公共子序列个数。
输入格式
第 $1$ 行为第 $1$ 个字符序列，都是大写字母组成，以 . 结束。
第 $2$ 行为第 $2$ 个字符序列，都是大写字母组成，以 .结束。
注意，两个字符序列均不包含最后的 .。
输出格式
第 $1$ 行输出上述两个最长公共子序列的长度。
第 $2$ 行输出所有可能出现的最长公共子序列个数，答案可能很大，只要将答案对 $100,000,000$ 求余即可。
数据范围
输入字符序列的长度都不超过 $5000$

对于此题，和上方的第三个阶段一样，笔者不会。等会了的话，会来更新的。