bzoj2004公交线路——DP+矩阵加速递推

题目：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2004

求方案数，想到DP；

因为两个站间距离<=p，所以每p个站中所有车一定都会停靠至少一次，借此设计状态为p个站的停靠状态；

状压一下，1表示有车，0表示没有车，每个状态只有k个1；

这样就可以转移了，后一个状态可以是前一个中的一辆车移动了过来，状态数+=前一个状态；

但这样没有规律，同一个状态中不同的1出现的顺序不同，会导致出现重复；

所以需要人为规定一个顺序，这里设计为p位中最后一位一定为1，也就是最新的站上一定有车，规定了一个状态中的1一定是从前往后一个一个出现这样的顺序，从而避免了重复；

这样规定同时也确保了每个站最后一定都被停靠过；

于是每个状态完全只由上一个状态得来，而每个状态能从哪些状态转移过来也是固定的，所以可以使用矩阵快速幂加速递推；

设初始值ans.a[1][1]=1，表示一开始是前k个车站上有车；

最后输出也是ans.a[1][1]，只有后k位上有车这个状态是合法的。

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,k,p,mod=30031,f[155],ct;
struct Matrix{
    int a[155][155];
    Matrix operator * (const Matrix &y) const
    {
        Matrix x;
        memset(x.a,0,sizeof x.a);
        for(int i=1;i<=ct;i++)
            for(int k=1;k<=ct;k++)
                for(int j=1;j<=ct;j++)
                    (x.a[i][j]+=a[i][k]*y.a[k][j])%=mod;
        return x;
    }
}s,ans;
int calc(int x)
{
    int s=0;
    while(x){s++;x-=(x&-x);}
    return s;
}
void init()
{
    int tt=(1<<p)-1;
    for(int i=1;i<=tt;i++)
        if(calc(i)==k&&(i&1)==1)f[++ct]=i;
        
    for(int i=1;i<=ct;i++)
        for(int j=1;j<=ct;j++)
            if(calc((f[i]<<1)&f[j])==k-1)
                s.a[j][i]=1;
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&k,&p);
    init();
    int t=n-k;
    ans.a[1][1]=1;
    while(t)
    {
        if(t&1)ans=s*ans;
        s=s*s;
        t>>=1;
    }
    printf("%d",ans.a[1][1]%mod);
    return 0;
}