流水作业调度问题——Johnson法：从两个作业到多个作业排序的正确性证明
流水作业调度问题的贪心做法———Johnson法广为人知。但关于Johnson法为什么是对的，网上常见的证明只讨论了两个作业的先后次序，然后直接根据这个次序建立了排序方法。这些证明的逻辑在于：通过对两个作业的先后次序的讨论，可以得到一种两两比较的方法；直接把这个方法应用于整个作业序列，就可以得到整个作业序列的最优执行顺序。然而，这些证明没有提到：为什么两个作业的次序可以推广到多个作业排序？下面我详细证明了这一点。
1. 问题描述
有\(n\)个作业（编号为\(1～n\)）要在由两台机器\(M1\)和\(M2\)组成的流水线上完成加工。每个作业加工的顺序都是先在\(M1\)上加工，然后在\(M2\)上加工。\(M1\)和\(M2\)加工作业\(i\)所需的时间分别为\(a_i\)和\(b_i(1≤i≤n)\).
流水作业调度问题要求确定这\(n\)个作业的最优加工顺序，使得从第一个作业在机器\(M1\)上开始加工，到最后一个作业在机器\(M2\)上加工完成所需的时间最少。可以假定任何作业一旦开始加工，就不允许被中断，直到该作业被完成，即非优先调度。
2. 两个作业的次序
（图片来自《算法设计与分析》—李春葆）
假设先执行作业\(1\)，再执行作业\(2\)，此时有两种情况：\(b_1<a_2\)（左图）和 \(b_1 \geq a_2\)（右图）。在左图中，\(T=a_1+a_2+b_2\)；在右图中，\(T=a_1+b_1+b_2\)。综合两种情况，我们得到：
类似地，先执行作业\(2\)，再执行作业\(1\)的情况可以被表示为：
因此，我们得到结论：若 \(min(a_1,b_2)<min(a_2,b_1)\)，则先执行作业\(1\)，再执行作业\(2\)，否则反之。进一步，有下面三种情况：
(1) \(a_1<b_1\) 且 \(a_2<b_2\) 且 \(a_1<a_2\). 此时因为 \(a_1<a_2<b_2\)，故 \(min(a_1,b_2)=a_1\).又因为 \(a_1<a_2, a_1<b_1\)，故 \(a_1<min(a_2,b_1)\)，即 \(min(a_1,b_2)<min(a_2,b_1)\). 根据上面的结论，此时先执行作业\(1\)，再执行作业\(2\)。
(2) \(a_1<b_1\) 且 \(a_2 \geq b_2\). 此时显然有\(min(a_1,b_2) \leq min(a_2,b_1)\). 由于当 \(min(a_1,b_2)=min(a_2,b_1)\) 时先执行作业\(1\)和先执行作业\(2\)用时一样，我们可以统一认为这种情况先执行作业\(1\)，再执行作业\(2\)。
(3) \(a_1 \geq b_1\) 且 \(a_2 \geq b_2\) 且 \(b_1 \geq b_2\). 此时因为 \(a_1 \geq b_1 \geq b_2\)，故 \(min(a_1,b_2)=b_2\).又因为 \(a_2 \geq b_2, b_1 \geq b_2\)，故 \(min(a_2,b_1) \geq b_2\)，即 \(min(a_1,b_2) \leq min(a_2,b_1)\). 根据上面的讨论，此时先执行作业\(1\)，再执行作业\(2\)。
直接推广这三条结论，就得到了Johnson法：
(1)把所有作业按\(M1, M2\)的时间分为两组，\(a[i]≤b[i]\)对应组\(N1\)，\(a[i]>b[i]\)对应组\(N2\)。
(2)将\(N1\)的作业按\(a[i]\)递增排序，\(N2\)的作业按\(b[i]\)递减排序。
(3)按顺序先执行\(N1\)的作业，再执行\(N2\)的作业，得到的就是耗时最少的最优调度方案。
3. 两个到多个的正确性
将两个元素之间的次序关系推广到多个元素，需要这种关系满足一些“序”的性质。在这里，我们采用一种简单的方法来证明：
假设当前的作业序列不是按照Johnson法提出的序排列的，我们想要证明它比Johnson法排序后的方案更差。为此，我们找到这个作业序列中第一个不满足这个序的二元对 \((P_i,P_{i+1})\)，希望把 \(P_i\) 和 \(P_{i+1}\) 交换后答案变得更优。
这时，问题出现了：
(1)在 \((P_i,P_{i+1})\) 之前存在其他的作业，这些作业导致当我们处理 \((P_i,P_{i+1})\) 时，机器 \(M_1\) 可用的时间和机器 \(M_2\) 可用的时间并不是同时开始的。如下图，机器 \(M_2\) 会存在一段时间 \(st\) 被前面的作业占用。此时，情况就和我们在 2. 中的不同了。
(2)在 2. 中，我们致力于使完成两个作业的时间最短。然而在多个作业的序列中，某两个相邻作业的完成时间最短对于全局是最优的吗？也就是说，这个问题是否具有最优子结构？
（左图为 2. 中讨论的情况，右图为多个元素的序列中两个相邻元素存在的情况）
我们逐个解决这些问题。
3.1 分类讨论
考虑到 \(st\) 的存在，我们依然可以通过分类讨论来分析各种情况下的最优策略。
3.1.1: \(a_1 \geq st\) 且 \(a_2 \geq st\)
此时 \(st\) 不影响决策，分析的过程和 2. 相同， 2. 的策略是最优的。
3.1.2: \(a_1 < st\) 且 \(a_2 < st\) 且 \(a_1+a_2 < st\)
此时不管作业\(1\)在前还是作业\(2\)在前，时间都是 \(st+b_1+b_2\). 2. 的策略也是最优的。
3.1.3: \(a_1 < st\) 且 \(a_2 < st\) 且 \(a_1+a_2 \geq st\)
此时，若先执行作业\(1\)再执行作业\(2\)，则对 \(b_1\) 和 \(a_1+a_2-st\) 的大小关系进行分类讨论，可以得到最优时间 \(T=a_1+a_2+b_1+b_2+st-min(a_1+a_2,b_1+st)\). 同理，先执行作业\(2\)再执行作业\(1\)的最优时间为\(T=a_1+a_2+b_1+b_2+st-min(a_1+a_2,b_2+st)\).
(1) \(a_1<b_1\) 且 \(a_2<b_2\)
不妨设 \(a_1<a_2\). 此时，2. 的策略认为应该先执行作业\(1\)再执行作业\(2\)。我们假设此时先执行作业\(2\)再执行作业\(1\)更优，即：
(2) \(a_1<b_1\) 且 \(a_2 \geq b_2\)
此时，2. 的策略认为应该先执行作业\(1\)再执行作业\(2\)。我们仍假设先执行作业\(2\)再执行作业\(1\)更优，即有假设\(1\).
此时总有 \(a_1+a_2 < st+b_1\), 我们对 \(a_1+a_2\) 和 \(b_2+st\) 的大小关系分类讨论：
(i)设 \(a_1+a_2 < st+b_2\)，那么此时 \(min(a_1+a_2,b_2+st) = a_1+a_2 = min(a_1+a_2,b_1+st)\)，与假设\(1\)产生矛盾；
(ii)设 \(a_1+a_2 \geq st+b_2\)，那么此时由假设\(1\)得 \(b_2+st > a_1+a_2\)，产生矛盾。
(3) \(a_1 \geq b_1\) 且 \(a_2 \geq b_2\)
不妨设 \(b_1>b_2\). 此时，2. 的策略认为应该先执行作业\(1\)再执行作业\(2\)。我们仍假设先执行作业\(2\)再执行作业\(1\)更优，即有假设\(1\).
(i)设 \(a_1+a_2 < st+b_2, a_1+a_2 < st+b_1\)，那么此时 \(min(a_1+a_2,b_2+st) = a_1+a_2 = min(a_1+a_2,b_1+st)\)，与假设\(1\)产生矛盾；
(ii)设 \(a_1+a_2 < st+b_2, a_1+a_2 \geq st+b_1\)，那么此时 \(b_1 \leq b_2\)，产生矛盾；
(iii)设 \(a_1+a_2 \geq st+b_2, a_1+a_2 < st+b_1\)，那么此时由假设\(1\)得 \(b_2+st > a_1+a_2\)，产生矛盾；
(iv)设 \(a_1+a_2 \geq st+b_2, a_1+a_2 \geq st+b_1\)，那么此时由假设\(1\)得 \(b_2 > b_1\)，产生矛盾。
3.1.4: \(a_1 < st\) 且 \(a_2 \geq st\)（\(a_2 < st\) 且 \(a_1 \geq st\) 同理）
此时，若先执行作业\(1\)再执行作业\(2\)，则对 \(b_1\) 和 \(a_1+a_2-st\) 的大小关系进行分类讨论，可以得到最优时间 \(T=a_1+a_2+b_1+b_2+st-min(a_1+a_2,b_1+st)\). 同理，先执行作业\(2\)再执行作业\(1\)的最优时间为\(T=a_1+a_2+b_1+b_2-min(a_1,b_2)\).
(1) \(a_1<b_1\) 且 \(a_2<b_2\)
不妨设 \(a_1<a_2\). 此时，2. 的策略认为应该先执行作业\(1\)再执行作业\(2\)。我们假设此时先执行作业\(2\)再执行作业\(1\)更优，即：
(i)设 \(a_1<b_2, a_1+a_2<st+b_1\)，那么此时由假设\(2\)得 \(st-a_2>0\)，产生矛盾；
(ii)设 \(a_1<b_2, a_1+a_2 \geq st+b_1\)，那么此时由假设\(2\)得 \(a_1-b_1>0\)，产生矛盾；
(iii)设 \(a_1 \geq b_2\)，那么有 \(a_1 \geq b_2 > a_2\)，产生矛盾。
(2) \(a_1<b_1\) 且 \(a_2 \geq b_2\)
此时，2. 的策略认为应该先执行作业\(1\)再执行作业\(2\)。我们仍假设此时先执行作业\(2\)再执行作业\(1\)更优，即有假设\(2\).
(i)设 \(a_1<b_2, a_1+a_2<st+b_1\)，那么此时由假设\(2\)得 \(st-a_2>0\)，产生矛盾；
(ii)设 \(a_1<b_2, a_1+a_2 \geq st+b_1\)，那么此时由假设\(2\)得 \(-b_1+a_1>0\)，产生矛盾；
(iii)设 \(a_1 \geq b_2, a_1+a_2<st+b_1\)，那么此时由假设\(2\)得 \(st-a_1-a_2+b_2>0\)，然而 \(st \leq a_2, b_2 \leq a_1\)，产生矛盾；
(iv)设 \(a_1 \geq b_2, a_1+a_2 \geq st+b_1\)，那么此时由假设\(2\)得 \(-b_1+b_2>0\)，然而 \(b_1 > a_1 \geq b_2\)，产生矛盾；
(3) \(a_1 \geq b_1\) 且 \(a_2 \geq b_2\)
不妨设 \(b_1>b_2\). 此时，2. 的策略认为应该先执行作业\(1\)再执行作业\(2\)。我们仍假设先执行作业\(2\)再执行作业\(1\)更优，即有假设\(2\).
注意到此时有 \(a_1 \geq b_1 \geq b_2\)，故我们只需对 \(a_1+a_2\) 与 \(st+b_1\) 的大小关系进行讨论：
(i)设 \(a_1+a_2<st+b_1\)，那么此时由假设\(2\)得 \(st-a_1-a_2+b_2>0\)，然而 $st \leq a_2, a_1 \geq b_2 $，产生矛盾；
(ii)设 \(a_1+a_2 \geq st+b_1\)，那么此时由假设\(2\)得 \(-b_1+b_2>0\)，产生矛盾；
综上，在考虑 \(st\) 的情况下，2. 的策略仍然是最优策略。
3.2 最优子结构
这里，我们讨论的是：在多个作业的序列中，某两个相邻作业的完成时间最短对于全局是最优的吗？
答案是肯定的。当我们在努力使作业的完成时间最短时，我们实际上是在尽量使机器\(M2\)的结束工作时间提前（显然，\(M1\)结束工作的时间一定早与\(M2\)）；反映到某两个相邻的作业上，就是3.1节提出的 \(st\) 的减小，而这又只可能使它们后面两个作业的 \(st\) 减小或不变。 容易看出，某两个相邻作业的 \(st\) 减小对于整体答案只可能有好的影响。因此，某两个相邻作业的完成时间最短对于全局是最优的。
4. 总结
解决了从两个作业到多个作业的推广问题，我们再来考虑Johnson法排序的证明：假设当前的作业序列不是按照Johnson法提出的序排列的，我们想要证明它比Johnson法排序后的方案更差。为此，我们找到这个作业序列中第一个不满足这个序的二元对 \((P_i,P_{i+1})\)，希望把 \(P_i\) 和 \(P_{i+1}\) 交换后答案变得更优。根据上面的讨论，这是显然的。
现在，我们可以放心地使用Johnson法了。
