bzoj 4036 按位或 —— min-max容斥+FMT

题目：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4036

min-max容斥：https://blog.csdn.net/ez_2016gdgzoi471/article/details/81416333

二项式反演：https://blog.csdn.net/ez_2016gdgzoi471/article/details/81408416

而出现 \( S \) 的期望，就是 \( S \) 每一位出现的期望中的最大值；

所以

\( E(S) = max(S) = \sum\limits_{T \subseteq S} (-1)^{|T|-1} min(T) \)

\( min(T) = \frac{1}{ \sum\limits_{K \cap T \neq \varnothing} p_{K} } \)

\( \sum\limits_{K \cap T \neq \varnothing} p_{K} = 1 - \sum\limits_{k \subseteq C_{U}^{T} } p_{k} \)

求个高维前缀和(FMT)即可。

代码如下：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define eps 1e-6
using namespace std;
typedef double db;
int const xn=(1<<20)+5;
int n,bin[25];
bool vis[25]; db p[xn],mn[xn];
int cal(int s){int ret=0; while(s)ret+=(s&1),s>>=1; return ret;}
void fmt(db *a,int tp)
{
  for(int d=1;d<bin[n];d<<=1)
    for(int s=0;s<bin[n];s++)
      if(s&d)a[s]+=a[s^d]*tp;
}
int main()
{
  scanf("%d",&n);
  bin[0]=1; for(int i=1;i<=n;i++)bin[i]=(bin[i-1]<<1);
  for(int i=0;i<bin[n];i++)
    {
      scanf("%lf",&p[i]);
      if(p[i]){for(int d=0;d<n;d++)if(i&bin[d])vis[d]=1;}
    }
  for(int i=0;i<n;i++)if(!vis[i]){puts("INF"); return 0;}
  fmt(p,1);
  for(int s=1;s<bin[n];s++)
    if(1-p[(bin[n]-1)^s]>eps)mn[s]=1.0/(1-p[(bin[n]-1)^s]);//s=1
  db ans=0;
  for(int s=1;s<bin[n];s++)ans+=mn[s]*((cal(s)&1)?1:-1);//s=1
  printf("%.10f\n",ans);
  return 0;
}