bzoj 4407 于神之怒加强版 —— 反演+筛积性函数
题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4407
推导如这里:https://www.cnblogs.com/clrs97/p/5191506.html
然后发现 F(D) 是一个积性函数,可以筛质数的同时筛出来;
首先,单个质数 p 时只有 d=1 和 d=p 两个因数,所以 F[p]=pk−1
然后如果筛到互质的数,直接把 F() 相乘即可;
如果不互质,说明那个数已经有 p 这个质因子,考虑会在什么地方出现;
观察那个 μ(d) 里面的 d,不会有两个及以上相同的质因子,所以新加入的这个 p 不会在 d 中单独出现了;
所以所有的 μ(d) 外面那个 (Dd)k 里面都会加入一个 pk,拿出来单独乘上即可;
注意分块的边界是 min(n,m),因为枚举的是 gcd ;
因为有负数,最后别忘了再模一下。
代码如下:
#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; typedef long long ll; int const xn=5e6+5,mod=1e9+7; int n,m,k,pri[xn],cnt,f[xn],s[xn]; bool vis[xn]; ll pw(ll a,int b) { ll ret=1; for(;b;b>>=1,a=(a*a)%mod)if(b&1)ret=(ret*a)%mod; return ret; } int upt(int x){while(x>=mod)x-=mod; while(x<0)x+=mod; return x;} void init() { int mx=5e6; f[1]=1; for(int i=2;i<=mx;i++) { if(!vis[i])pri[++cnt]=i,s[i]=pw(i,k),f[i]=upt(s[i]-1); for(int j=1;j<=cnt&&(ll)i*pri[j]<=mx;j++) { vis[i*pri[j]]=1; if(i%pri[j])f[i*pri[j]]=(ll)f[i]*f[pri[j]]%mod; else {f[i*pri[j]]=(ll)f[i]*s[pri[j]]%mod; break;} } } for(int i=2;i<=mx;i++)f[i]=upt(f[i]+f[i-1]); } int main() { int T; scanf("%d%d",&T,&k); init(); while(T--) { scanf("%d%d",&n,&m); int mn=min(n,m),ans=0;// for(int i=1,j;i<=mn;i=j+1) { j=min(n/(n/i),m/(m/i)); ans=(ans+((ll)f[j]-f[i-1])*(n/i)%mod*(m/i))%mod; } printf("%d\n",upt(ans));//- } return 0; }
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