bzoj 4555 [Tjoi2016&Heoi2016] 求和 —— 第二类斯特林数+NTT

题目：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4555

关于第二类斯特林数：https://www.cnblogs.com/Wuweizheng/p/8638858.html

关于这道题：https://blog.csdn.net/werkeytom_ftd/article/details/51909966

把 ∑i 移到后面那一步很不错，在后面就是个等比数列求和，就消去一个 O(n) 了；

注意等比数列求和公式当 q=1 时不适用。

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
int const xn=(1<<18),mod=998244353;
int n,a[xn],b[xn],lim,rev[xn],jc[xn],jcn[xn];
int upt(int x){while(x>=mod)x-=mod; while(x<0)x+=mod; return x;}
ll pw(ll a,int b)
{
  ll ret=1; a=upt(a%mod);
  for(;b;b>>=1,a=(a*a)%mod)if(b&1)ret=(ret*a)%mod;
  return ret;
}
void init()
{
  jc[0]=1;
  for(int i=1;i<=n;i++)jc[i]=(ll)jc[i-1]*i%mod;
  jcn[n]=pw(jc[n],mod-2);
  for(int i=n-1;i>=0;i--)jcn[i]=(ll)jcn[i+1]*(i+1)%mod;
}
void ntt(int *a,int tp)
{
  for(int i=0;i<lim;i++)
    if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
  for(int mid=1;mid<lim;mid<<=1)
    {
      int len=(mid<<1),wn=pw(3,tp==1?(mod-1)/len:(mod-1)-(mod-1)/len);
      for(int j=0;j<lim;j+=len)
    for(int k=0,w=1;k<mid;k++,w=(ll)w*wn%mod)
      {
        int x=a[j+k],y=(ll)w*a[j+mid+k]%mod;
        a[j+k]=upt(x+y); a[j+mid+k]=upt(x-y);
      }
    }
  if(tp==1)return; int inv=pw(lim,mod-2);
  for(int i=0;i<lim;i++)a[i]=(ll)a[i]*inv%mod;
}
int main()
{
  scanf("%d",&n);
  lim=1; int l=0;
  while(lim<=n+n)lim<<=1,l++;
  for(int i=0;i<lim;i++)rev[i]=((rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1)));
  init();
  for(int i=0,t=1;i<=n;i++,t=-t)a[i]=upt(t*jcn[i]);
  for(int i=0;i<=n;i++)
    {
      if(i==1)b[i]=(ll)(n+1)*jcn[i]%mod;//!!
      else b[i]=upt((ll)(1-pw(i,n+1))*pw(1-i,mod-2)%mod*jcn[i]%mod);
    }
  ntt(a,1); ntt(b,1);
  for(int i=0;i<lim;i++)a[i]=(ll)a[i]*b[i]%mod;
  ntt(a,-1);
  int ans=0;
  for(int i=0,bin=1,fac=1;i<=n;i++,bin=upt(bin<<1),fac=(ll)fac*i%mod)
    ans=upt(ans+ (ll)bin*fac%mod*a[i]%mod);
  printf("%d\n",ans);
  return 0;
}