CF1859

CF1859

A. United We Stand

Statement

一共 $t$ 组数据，每组数据给定一个长度为 $n$ 数组 $a$，将其分为两个数组，使得任意第二个数组中的数不可以整除任意第一个数组中的数。

Solution

呆呆A。直接排序将最小的分进去即可。

B. Olya and Game with Arrays

Statement

这里有 $n$ 个数列，第 $i$ 个数列包含 $m_i$ 个正整数 。

现在你可以在每个数列中挑出至多一个元素移动至另外一个数列（当然也可以不移动），一个数列中可以接受多个元素加入进来，但是一个数列中只有一个元素可以被挑出移动至其他数列，所有操作在同一时刻完成 。

美丽值的定义是每个数列中的最小值之和，即 $\sum _{i=1}^{n}mi{n}_{j=1}^{m_i}{a}_{i,j}$ 。

现在求通过操作后，这 $n$ 个数列最大的美丽值 。

共有 $T$ 组数据 ， $1\le T\le 25000$ ，$1\le n\le 25000$ ，$2\le m\le 50000$ ，$1\le a_{i,j}\le {10}^9$ 。

Solution

我们看看总贡献中会由什么构成，显然由一些最小值和次小值构成。

那么我们考虑一定要让次小值构成，但是必须得有一个最小值也产生一次贡献，那么我就让一个最小值代替掉最小的次小值。

直接 $O(n)$ 维护次小值和最小值。

C. Another Permutation Problem

Statement

给定 $n(⩽250)$，求一个 $1$ 到 $n$ 的排列 $\{p_n\}$ 使 $\sum _{i=1}^n{p}_i\cdot i-\underset{j=1}{\overset{n}{max}}\{p_j\cdot j\}$ 最大，输出最大值。

Solution

找规律题。打表可以发现一些规律。

然后可以发现他是翻转一段。枚举反转点即可。

D. Andrey and Escape from Capygrad

Statement

给定 $n$ 对区间，每对区间由大区间 $[l_i,r_i]$ 和小区间 $[a_i,b_i]$ 构成，保证小区间是大区间的子区间。在任意时间，你可以任意多次使用（可以不使用）以下技能来改变你的当前位置：

• 选择一个数 $i(1\le i\le n)$ ，满足你当前位置在第 $i$ 对区间的大区间内，则你可以立即传送到这对区间的小区间里的你指定的任意位置。

$q$ 组询问，每组询问给定一个初始位置 $x$ ，回答当你初始位置为 $x$ 时，你能只通过传送技能传送到的最大位置。

Solution

看起来很板子，但是离散化会写挂，这是为什么呢？

线段树维护当前点跳一次能到的最大值，然后从后往前扫一遍就行。

值域 $1e9$，$n,m$ 范围 $2e5$，离散化就行。

线段树空间要开 $8e5$。

离散化别写挂了！。

E. Maximum Monogonosity

Statement

有两个长度为 $n$ 的序列 $a$，$b$。其中区间 $[l,r]$，$(1\le l\le r\le n)$ 的价值是 $|b_l-a_r|+|b_r-a_l|$。

区间 $[l_1,r_1]$ $(1\le l_1\le r_1\le n)$ 和区间 $[l_2,r_2]$ $(1\le l_2\le r_2\le n)$ 不相交，是指 $r_1<l_2$ 满足或 $r_2<l_1$ 满足。

区间 $[l,r]$ $(1\le l\le r\le n)$ 的长度被定义为 $r-l+1$。

给定 $a,b$，求若干个互不相交的，总长度为 $k$ 的 $[l,r]$ 的价值总和的最大值。

Solution

设 $d{p}_{i,j}$ 表示前 $i$ 个填了 $j$ 个长度的最大价值。

$d{p}_{i,j}=max(d{p}_{i-1,j},\underset{k=1}{\overset{j}{max}}d{p}_{i-k,j-k}+|a_i-b_{i-k+1}|+|b_i-a_{i-k+1}|)$。

其中后面那个 $max$ 可以另开一个数组枚举四种情况维护就行。

F. Teleportation in Byteland

第一个 *3200。

Statement

比特兰有 $n$ 个城市，其中一些城市由道路连接，道路可以双向通行。第 $i$ 条道路有其自身的难度参数 $w_i$。以难度为 $w_i$ 的道路上的通行时间为 $\lceil \frac{w_i}{c}\rceil$，其中 $c$ 是当前驾驶技能。

比特兰的旅行网络是一棵树。换句话说，在任意两个城市之间，最多只有一条经过每个城市的路径。

在一些城市中，您可以参加驾驶课程。完成单个课程需要 $T$ 时间，并且完成课程后驾驶员的技能 $c$ 翻倍。请注意，完成课程所需的时间 $T$ 在所有城市中是相同的，并且可以在同一个城市中多次完成课程。

您需要回答 $q$ 个查询：如果您从技能 $c=1$ 开始旅行，从城市 $a$ 到城市 $b$ 所需的最短时间是多少？

Solution

首先，经过 $\log$ 次学习之后肯定是无效的，而且我们对于一次询问 $u\to v$，我们策略要么是不学习，要么就是 $u\to v$ 路径上某个点 $x$ 一次性学习 $K(K<\log )$ 次，然后从 $x$ 走到 $v$。

我们设 $f_{x,k}$ 表示从 $x$ 走到某个距离它最近的可以学习的点经过 $k$ 次学习之后再走回来的最近距离。

设 $g_{x,k}$ 表示路径经过 $k$ 次学习之后，从 $x$ 走到根的最短距离，特别的 $di{s}_x=g_{x,0}$。

将询问离线下来，然后考虑枚举学习次数，每个次数分别处理每个询问。

考虑答案会是什么样子的，如果什么也不学，那么答案就是 $di{s}_x+di{s}_y-2\times di{s}_{lca(x,y)}$。

如果从 $x\to lca(x,y)$ 路径上一点 $v$ 出发去某个点学习，那么答案就是 $di{s}_x+g_{y,k}-2\times g_{lca(x,y),k}+f_v-di{s}_v+g_{i,k}+m\times k$。

如果从 $lca(x,y)\to y$ 路径上一点 $v$ 出发去某个点学习，那么答案就是 $di{s}_x+g_{y,k}-2\times di{s}_{lca(x,y)}+f_v+di{s}_v-g_{i,k}+m\times k$。

其中 $f_v-di{s}_v+g_{i,k}$ 和 $f_v+di{s}_v-gi,k$ 可以用树剖+ST 表维护路径上的最小值，复杂度 $\log$。

$f_{x,k}$ 可以用 Dijkstra 最短路，开始先把所有特殊点丢进优先队列中，其中对于每次每次枚举的学习次数，分别处理边权即可。

代码还是比较好写的，注意一些细节比如枚举学习次数的上限是 $\log maxw$，最大值要 $1e18$，对于不需要加减的最大值可以赋 Long_Long_Max，树剖的东西要每次清空，LCA 不要写挂诸如此类的。

还是比较好实现的，具体可以看看代码。

Code