CF1788

CF1788

A. One and Two

Statement

给你一个数列 $a_1,a_2,\dots ,a_n$ . 数列中的每一个数的值要么是 $1$ 要么是 $2$ .
找到一个最小的正整数 $k$，使之满足：

• $1\le k\le n-1$ , and
• $a_1\cdot a_2\cdot \dots \cdot a_k=a_{k+1}\cdot a_{k+2}\cdot \dots \cdot a_n$ .

Solution

无解当且仅当序列中 2 的个数为奇数时。

有解找到 $\frac{n}{2}$ 处即可。

Code

B. Sum of Two Numbers

Statement

给定一个 $n$，选取任意满足条件的两个非负整数 $x,y$ ,使得 $x,y$ 满足如下条件：

• $x+y=n$
• $x,y$ 的各位数字之和相差不超过 $1$

多测，共有 $T$ 组数据。

Solution

随机化。随机两个数然后判断是否满足条件。随机几次基本就正确了。概率还是挺高的。

Code

C. Matching Numbers

Statement

给定 $m$，如果将 $1,2\dots 2m$ 两两配对，显然会形成 $m$ 对数。定义一对数的价值是两个数之和，希望构造一种方案使得这 $m$ 对数的价值形成一个长度为 $m$，并且公差为 $1$ 的等差数列。

Solution

考虑偶数一定不会有什么前途，而且稍微想一下也会发现不会有什么前途。

考虑奇数的情况，我们把数 $[1,n]$ 分为两部分：

• $1,3,...,n$
• $2,4,...,n-1$

此时我们考虑通过调整 $b_i$ 使得公差调整为 $1$，则 $b_i$ 每次 $-1$。

那么考虑两组怎么凑出来 $b_i$ 了，显然是 $2\times n$ 和 $3\times \frac{n+1}{2}-2$。

然后递减就行了。

Code

E. Sum Over Zero

Statement

给你一个长度为 $n$ 的序列 $a_1,a_2...a_{n-1},a_n$，现在请你找到这个序列的若干个不相交的合法子段。

对于你选择的一个子段 $[x,y]$，其为一个合法子段当且仅当 $\sum _{i=x}^{i\le y}{a}_i\ge 0$，即子段的区间和非负。对于一个合法的子段 $S=[x,y]$，我们记 $f(S)=(y-x+1)$，且当子段 $S$ 为空时， $f(S)=0$。

对于你选择的这若干个不相交合法子段，请最大化$\sum _{S}f(S)$并输出这个最大值

Solution

考虑朴素的 dp 。

设 $d{p}_i$ 表示前 $i$ 项最少不选多少。

$d{p}_i=d{p}_{i-1}+1$，可以不选。

$d{p}_i=0(su{m}_i\ge 0)$，前缀均可选。

$d{p}_i=\underset{su{m}_i-su{m}_j\ge 0}{min}d{p}_j$，一段连续的大于等于 $0$ 的区间。

这样的东西直接离散化前缀和然后在线段树上维护就行了，具体的可以参考代码。

Code