[CF115E] Linear Kingdom Races

[CF115E] Linear Kingdom Races

Description

有 \(n\) 个点，\(m\) 次演出 \([L,R]\)，可以获得收益 \(val_i\)，前提是修复花费代价修复所有点，代价是 \(\sum_{i=l}^{r} cost_i\)。演出区间可以重叠，考虑求最大收益 \(val_i\)。

Solution

我们考虑朴素的 \(dp\)，设 \(f_i\) 表示考虑前 \(i\) 个点的最大收益，有 \(f_i=f_j-cost(j+1,i)+val(j+1,i)\)（\(j∈[0,i-1]\)）。

复杂度 \(O(n^2)\)。

我们考虑线段树优化，我们维护对于每一个 \(i\)，断点 \(j\) 的 \(f_j-cost(j+1,i)+val(j+1,i)\)。

而后我们考虑每次枚举新的 \(i\)：

• 将线段树上 \([0,i-1]\) 减去 \(a[i]\)，因为强制 \([j+1,i]\) 修好。
• 对于每个右端点为 \(r=i\) 的比赛，将线段树上 \([0,l-1]\) 的值都 \(+v\)，因为我们考虑 \(j\) 后面的路都已经修好，可以使得这些比赛价值叠加。
• 更新状态 \(f_i\)。
• 更新线段树上的值。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long

#define ls (k<<1)
#define rs (k<<1|1)
#define mid ((l+r)>>1)

const int N=5e6+7;

int a[N],n,m;
struct node{
  int x,v;
  node(int a,int b){x=a,v=b;}
};
vector<node> vec[N];
int f[N];

namespace T{

  int maxx[N],tag[N];

  void upd(int k,int val){
    maxx[k]+=val;
    tag[k]+=val;
  }

  void pushdown(int k){
    if(!tag[k]) return;
    upd(ls,tag[k]),upd(rs,tag[k]);
    tag[k]=0;
  }

  void pushup(int k){maxx[k]=max(maxx[ls],maxx[rs]);}

  void modify(int k,int l,int r,int x,int y,int val){
    if(x<=l&&y>=r) return upd(k,val);
    pushdown(k);
    if(x<=mid) modify(ls,l,mid,x,y,val);
    if(y>=mid+1) modify(rs,mid+1,r,x,y,val);
    pushup(k);
  }

  int query(int k,int l,int r,int x,int y){
    if(x<=l&&y>=r) return maxx[k];
    pushdown(k);
    int res=-0x3f3f3f3f;
    if(x<=mid) res=max(res,query(ls,l,mid,x,y));
    if(y>=mid+1) res=max(res,query(rs,mid+1,r,x,y));
    return res;
  }

}
signed main(){
  scanf("%lld%lld",&n,&m);
  for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]);
  for(int i=1;i<=m;i++){
    int x,y,v;scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&v);
    vec[y].push_back(node(x,v));
  }
  for(int i=1;i<=n;i++){
    T::modify(1,0,n,0,i-1,-a[i]);
    for(auto [l,v]:vec[i]){
      T::modify(1,0,n,0,l-1,v);
    }
    f[i]=max(f[i-1],T::query(1,0,n,0,i-1));
    T::modify(1,0,n,i,i,f[i]);
  }
  printf("%lld",f[n]);return 0;
}