基础数论学习笔记

数论杂项

1. 扩展欧几里得

   裴蜀定理：\(ax+by=\gcd(a,b)\)。有解。

   void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
     if(!b) x=1,y=0;
     else{
       exgcd(b,a%b,y,x);
       y-=x*(a/b);
     }
   }
   

​ 其他解：\(x=x_0+i\times \frac{b}{\gcd(a,b)}\)。共有 \(\gcd(a,b)\) 个解。

2. 费马小定理

   若 \(p\) 为质数，\(a^p\equiv a\pmod{p}\)，\(a^{p-1}\equiv1\pmod{p}\)。

3. 欧拉函数、欧拉定理

   \(φ(m)\) 表示从 \(1\to m-1\) 中与 \(m\) 互质的数（包含 \(1\)）。

   若 \(p\) 是质数，则 \(φ(p)=p-1\)。

   若 \(\gcd(m,n)=1\)，则 \(φ(mn)=φ(m)\times φ(n)\)。

   \(φ(x)=x\times \prod_{i=1}^{n}(1-\frac{1}{p_i})\)

   求法：若 \(\gcd(a,m)=1\)，则 \(a^φ(m)\equiv1\pmod{m}\)。

   推论：若 \(\gcd(a,m)=1\)，则 \(a^b\equiv a^{b\mod{φ(n)}}\pmod{m}\)。

   扩展：若 \(b\geqφ(m)\)，则 \(a^b\equiv a^{b \mod φ(m)+φ(m)}\pmod{m}\)。

   筛法求欧拉函数：

   void oular(){
     vis[1]=1,phi[1]=1;
     for(int i=2;i<=n;i++){
       if(!vis[i]) pri[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
       for(int j=1;i*pri[j]<=n;j++){
         vis[i*pri[j]]=1;
         if(i%pri[j]==0){
           phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];
           break;
         } 
         phi[i*pri[j]]=phi[i]*phi[pri[j]];
       }
     }
   }
   

4. 逆元、组合数

   \(a*a^-1\equiv1\pmod{m}\) 则称\(a^-1\)是\(a\)在模\(m\)意义下的逆元。

   求法：

   1. \(O(p\log{p})\)。

      由费马小定理可得，若\(m\)为质数，则有\(a*a^{m-2}\equiv1\pmod{m}\)。

      则\(a^{m-2}\)为逆元。可以使用快速幂。

   2. \(O(p)\)。

      设\(m=\)\(\left\lfloor\dfrac{m}{x}\right\rfloor*x+r\)。则有\(x>r\)。

      转化为\(\left\lfloor\dfrac{m}{x}\right\rfloor*x+r\equiv{0}\pmod{m}\)

      同乘\(x^{-1}r{-1}\)。则有\(\left\lfloor\dfrac{m}{x}\right\rfloor*r^{-1}+x^{-1}\equiv{0}\pmod{m}\)

      得\(x^{-1}\equiv{-\left\lfloor\dfrac{m}{x}\right\rfloor*r^{-1}}\pmod{m}\)。

      显然\(r<x\)则\(r^{-1}\)已知。

      \(r=m-\left\lfloor\dfrac{m}{x}\right\rfloor*x\)。

      显然\(r=m \mod {x}\)。

      inv[1]=1;
      for(int i=2;i<=n;i++){
          inv[i]=((p-p/i)*inv[p%i]+p)%p;
      }
      

   \(O(1)\) 求组合数：

   \(C_{n}^{m}={n!}*(m!)^{-1}*(n-m)!^{-1}\)

   注意到可以直接递归求出\(n!\)。而后\(m!^{-1}=(m-1)!^{-1}*m^{-1}\mod{p}\)。

   又因为\(m,n\)范围，不可能暴力求。

   卢卡斯定理：

   \(C_{n}^{m}\mod{p}=C_{n\mod{p}}^{m\mod{p}}*C_{n/p}^{m/p}{\mod{p}}\)。

   前项显然均小于\(p\)。后一项递归求即可。

   void init(){
   	fac[0]=inv[0]=fac[1]=inv[1]=1;
   	for(int i=2;i<=mod;i++){
   		fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
   		inv[i]=((mod-mod/i)*inv[mod%i]+mod)%mod;
   	}
   	for(int i=2;i<=mod;i++) inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%mod;
   }
   int C(int n,int m){
   	if(n<m) return 0;
   	return fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
   }
   int lucas(int n,int m){
   	if(m==0) return 1;
   	else return C(n%mod,m%mod)*lucas(n/mod,m/mod)%mod;
   }
   

5. 中国剩余定理

   对于形如 \(x\equiv r_i \pmod{m_i}\)。

   设 \(M=\prod_{i=1}^{n}m_i\)，\(M_i=\frac{M}{m_i}\)。

   则 \(x\equiv \sum_{i=1}^{n}r_iM_i^{-1}M_i\pmod{m}\)。