[CF715B] Complete The Graph

[CF715B] Complete The Graph

Description

给 $n$ 点 $m$ 边，要求你修改 $m$ 条边中边权为 $0$ 的边， 使满足 $S\to T$ 的最短路长度是 $L$，且输出答案的时候边为 $0$ 的边的权值必须在 $[1,1e18]$ 内。

Solution

我们考虑一个暴力做法，即首先我们把边权不为 0 的边的编号存进一个 vector 内，考虑仅在图中存边权不为 0 的边。而后我们跑 $S\to T$ 的最短路极为 $di{s}_t$，我们考虑加边对这样一个 $di{s}_t$ 的影响，即只会使得 $di{s}_t$ 变小或不变。而后我们考虑若 $di{s}_t<L$ 则显然不合法输出 NO，若 $di{s}_t=L$ 则我们不希望边权为 0 的边对这张已经合法的图有任何影响，则所有边权为 0 的边权值改为极大值即可。

而后我们考虑 $di{s}_t>L$ 的情况。首先，若最短路变化了那么证明从 $S$ 到 $T$ 的最短路经过该边，于是我们可以通过以下方式来使得最短路恰好等于 $L$。

而后我们考虑不断枚举边权为 0 的并且把其边权设为 $1$ 并加入图中，这样可以使得最短路尽可能短（此时尽可能短直到 $di{s}_t<L$ 时考虑修改权值，并不代表一直使最短路尽可能短，换言之这样的策略是找到一条关键边使得 $S$ 到 $T$ 的最短路恰好满足情况），那么我们考虑对于每次枚举跑一次最短路，若此时 $di{s}_t<L$，那么显然这种情况是不合法的，我们考虑把它补到 $L-di{s}_t$。此时恰好使得当前图合法，因而其他没枚举到的边不需要不能影响该图的最短路，因而和上面一样赋值为极大值即可。

这种贪心的思路足够通过本题。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long
const int N=5e4+7;
vector<pair<int,int> > G[N];
vector<int> vec;
int dis[N<<2];
bool _vis[N<<2];
int n,m;
int u[N],v[N],w[N];
const int inf=1e18;
int p,l,s,t;

struct node{
	int dis,id;
	friend bool operator < (node a,node b){
		return a.dis>b.dis;
	}
};

void Dj(int s){
	memset(_vis,0,sizeof _vis);
	priority_queue<node> q;
	memset(dis,0x3f,sizeof dis);
	dis[s]=0;
	q.push({0,s});
	while(!q.empty()){
		int u=q.top().id;
		q.pop();
		if(_vis[u]) continue;
		_vis[u]=1;
		for(auto i:G[u]){
			int k=i.first,w=i.second;
			if(dis[k]>dis[u]+w){
				dis[k]=dis[u]+w;
				q.push({dis[k],k});
			}
		}
	}
}

void print()
{
	puts("YES");
	for(int i=1;i<=m;i++){
		if(!w[i]){
			if(i<p)
			printf("%lld %lld %lld\n",u[i],v[i],1ll);
			if(i==p)
			printf("%lld %lld %lld\n",u[i],v[i],l-dis[t]+1);
			if(i>p)
			printf("%lld %lld %lld\n",u[i],v[i],inf);
		}
		else printf("%lld %lld %lld\n",u[i],v[i],w[i]);
	}
}

signed main(){
  scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&n,&m,&l,&s,&t);
  for(int i=1;i<=m;i++){
    scanf("%lld%lld%lld",&u[i],&v[i],&w[i]);
    if(!w[i]){vec.push_back(i);continue;}
    G[u[i]].push_back(make_pair(v[i],w[i]));G[v[i]].push_back(make_pair(u[i],w[i]));
  }
  Dj(s);
//  printf("dis[t]=%d\n",dis[t]);
  if(dis[t]<l) return printf("NO\n"),0;
  if(dis[t]==l){
    printf("YES\n");
    for(int i=1;i<=m;i++){
      printf("%lld %lld %lld\n",u[i],v[i],w[i]==0?inf:w[i]);
    }
    return 0;
  }
  for(int i:vec){
    G[u[i]].push_back(make_pair(v[i],1));
    G[v[i]].push_back(make_pair(u[i],1));
    Dj(s);
		if(dis[t]>l) continue;
		p=i;
		print();
		return 0;
  }
  puts("NO");
  return 0;
}