一本通OJ-方案统计

方案统计

题意

求\(C[n][m]\pmod{P}\)。

分析

求逆元。

\(a*a^-1\equiv1\pmod{m}\) 则称\(a^-1\)是\(a\)在模\(m\)意义下的逆元。

求法：

1. \(p\log{p}\)。

   由费马小定理可得，若\(m\)为质数，则有\(a*a^{m-2}\equiv1\pmod{m}\)。

   则\(a^{m-2}\)为逆元。可以使用快速幂。

2. \(p\)。

   设\(m=\)\(\left\lfloor\dfrac{m}{x}\right\rfloor*x+r\)。则有\(x>r\)。

   转化为\(\left\lfloor\dfrac{m}{x}\right\rfloor*x+r\equiv{0}\pmod{m}\)

   同乘\(x^{-1}r{-1}\)。则有\(\left\lfloor\dfrac{m}{x}\right\rfloor*r^{-1}+x^{-1}\equiv{0}\pmod{m}\)

   得\(x^{-1}\equiv{-\left\lfloor\dfrac{m}{x}\right\rfloor*r^{-1}}\pmod{m}\)。

   显然\(r<x\)则\(r^{-1}\)已知。

   \(r=m-\left\lfloor\dfrac{m}{x}\right\rfloor*x\)。

   显然\(r=m \mod {x}\)。

   inv[1]=1;
   for(int i=2;i<=n;i++){
       inv[i]=((p-p/i)*inv[p%i]+p)%p;
   }
   

求\(O(1)\)组合数

\(C_{n}^{m}={n!}*(m!)^{-1}*(n-m)!^{-1}\)

注意到可以直接递归求出\(n!\)。而后\(m!^{-1}=(m-1)!^{-1}*m^{-1}\mod{p}\)。

又因为\(m,n\)范围，不可能暴力求。

卢卡斯定理

\(C_{n}^{m}\mod{p}=C_{n\mod{p}}^{m\mod{p}}*C_{n/p}^{m/p}{\mod{p}}\)。

前项显然均小于\(p\)。后一项递归求即可。

代码

void init(){
	fac[0]=inv[0]=fac[1]=inv[1]=1;
	for(int i=2;i<=mod;i++){
		fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
		inv[i]=((mod-mod/i)*inv[mod%i]+mod)%mod;
	}
	for(int i=2;i<=mod;i++) inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%mod;
}
int C(int n,int m){
	if(n<m) return 0;
	return fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
int lucas(int n,int m){
	if(m==0) return 1;
	else return C(n%mod,m%mod)*lucas(n/mod,m/mod)%mod;
}