一本通OJ-古代猪文

古代猪文

题意

求\(g^{\sum C_{n}^{k} \mod{999911659}}\)满足\(k\mid n\)。

分析

由题意，可以先枚举这样的k。

	for(int i=1;i*i<=mod;i++)
		if(mod%i==0){
			if(i*i!=mod) //mod/i;
			//i
         }

而后，由欧拉定理的推论得\(a^b\equiv a^{b\mod{φ(p)}}\pmod{p}\)。\(φ(p)=从1到p-1与p互质的个数\)。

因为\(999911658=2*3*4679*35617\)，因而

则可令

\(a_1=\sum k\mid n\) \(C_{n}^{k} \mod {2}\)

\(a_2=\sum k\mid n\) \(C_{n}^{k} \mod {3}\)

\(a_3=\sum k\mid n\) \(C_{n}^{k} \mod {4679}\)

\(a_4=\sum k\mid n\) \(C_{n}^{k} \mod {35617}\)

则通过\(Lucas\)定理可求得\(a_1,a_2,a_3,a_4\)。

则求得的

\(x\equiv a_1 \pmod {2}\)

\(x\equiv a_2 \pmod {3}\)

\(x\equiv a_3 \pmod {4679}\)

\(x\equiv a_4 \pmod {35617}\)

则可以使用CRT来求解\(x\)。

则令\(k=\prod\limits_{i=1}^nb_i\)，\(x=\sum\limits_{i=1}^n(\frac{k}{b[i]})^{b_{i}-1}*a[i]*k\mod {b[i]}\)。

对于本题\(k=999911658\)。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N=1e6+7;
int fac[N],inv[N],mod;
int b[5]={0,2,3,4679,35617};
int a[50];
int qpow(int shu,int cifang,int mod){
	int ans=1;
	int k=cifang;
	while(k){
		if(k&1){
			ans=ans*shu%mod;
			shu=shu*shu%mod;
		}
		else{
			shu=shu*shu%mod;
		}
		k>>=1;
	}
	return ans%mod;
}
void init(int p){
	fac[0]=inv[0]=fac[1]=inv[1]=1;
	for(int i=2;i<=p;i++){
		fac[i]=fac[i-1]*i%p;
		inv[i]=((p-p/i)*inv[p%i]+p)%p;
	}
	for(int i=2;i<=p;i++) inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%p;
}
int C(int n,int m){
	if(n<m) return 0;
	return fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
int lucas(int n,int m,int p){
	if(n<m) return 0;
	if(m==0) return 1;
	else return C(n%p,m%p)*lucas(n/p,m/p,p)%p;
}
int x;
int n,g;
int ans;
void crt(){
	for(int i=1;i<=4;i++)x=(x+a[i]*(mod/b[i])%mod*qpow(mod/b[i],b[i]-2,b[i]))%mod;
}
signed main(){
	scanf("%lld%lld",&n,&g);
	mod=999911658;
	if(g%(mod+1)==0) return printf("0"),0;
	for(int k=1;k<=4;k++){
		init(b[k]);
		for(int i=1;i*i<=n;i++){
			if(n%i==0){
				a[k]=(a[k]+lucas(n,i,b[k]))%b[k];
				if(i*i!=n) a[k]=(a[k]+lucas(n,n/i,b[k])%b[k]);
			}
		}
	}
	crt();
	ans=qpow(g,x,mod+1);
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}