一本通OJ-约数之和

约数之和

题意

求$A^B$在$\mathrm{mod}P$意义下的约数之和。

分析

先来看一个简单的问题，对于一个数$n$，若$n=p_1^{m_1}\ast p_2^{m_2}...\ast p_n^{m_n}$。对于$p_i$在和中贡献$\sum _{j=0}^{m_i}{p}_i^j$。则约数和为$\prod _{i=1}^n(\sum _{j=0}^{m_i}{p}_i^j)$。易对于$A^B$来说$Ans=\prod _{i=1}^n(\sum _{j=0}^{B\ast m_i}{p}_i^j)$。我们考虑设

$\mathrm{①}：x=p_1^0+p{2}^1...p^m$

$\mathrm{②}：px=p_{}^1+p{}^2...p^{m+1}$

$\mathrm{②}-\mathrm{①}$ 则得$x=\frac{p_i^{B{k}_i+1}-1}{p_i-1}$。

则$Ans=\prod _{i=1}^n(\frac{p_i^{B{k}_i+1}-1}{p_i-1})$。

当$9901\mid p_i-1$时，相当于直接$/9901$。否则求$p_i-1$的逆元。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int tot;
const int N=1e5+67;
int p[N],k[N];
const int mod=9901;
int a,b;
void get(int n){
	int i=2;
	while(n!=1){
		if(n%i==0){
			p[++tot]=i;
			while(n%i==0) n/=i,k[tot]++;
		}
		i++;
	}
}
int qpow(int shu,int cifang,int mod){
	int ans=1;
	int k=cifang;
	while(k){
		if(k&1){
			ans=ans*shu%mod;
			shu=shu*shu%mod;
		}
		else{
			shu=shu*shu%mod;
		}
		k>>=1;
	}
	return ans%mod;
}
int ans=1;
signed main(){
	scanf("%lld%lld",&a,&b);
	get(a);
	for(int i=1;i<=tot;i++){
		if((p[i]-1)%mod==0) ans=ans*(b*k[i]+1)%mod;
		else{
			int j=(qpow(p[i],k[i]*b+(long long)1,mod)-1+mod)%mod;
			int inv=qpow(p[i]-1,mod-(long long)2,mod);
			ans=ans*j*inv%mod;

		}
	}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}