线性代数（3Blue1Brown）

线性代数（3Blue1Brown）

向量是什么

  1. 物理视角：空间中的箭头，长度和方向决定。
  2. 计算机视角：有序数字列表。
  3. 数学视角：起点在原点，空间中的箭头，向量由坐标系中数组构成。

向量运算规则

  1. 加法
    空间中沿有向线段的运动。
    对应坐标相加。
  2. 数乘
    缩放标量：向量长度缩放。
    向量中的每个分量与标量相乘。

向量组合 张成空间 基

  • 基向量
    1. 基的严格定义
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    2. 向量，基于当前使用的基向量。
      两个数乘向量的和：两个向量的线性组合
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  • 张成空间：给定向量线性组合的向量的集合。
    1. 二维空间 不共线时两个向量张成空间为整个平面，共线为直线。
    2. 三维空间 两个向量张成空间为过原点平面 三个向量为整个空间。
  • Tip: 考虑单个向量时看作箭头，多个向量时看作点。
  • 线性相关：
    1. 一组向量中至少有一个是多余的，没有对张成空间做出任何贡献
       （第三个向量落在前两个向量的张成空间中，两向量共线）
    2. 一个向量可以表示为其他向量的线性组合
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  • 线性无关
    1. 所有向量给张成空间增加了新的维度。
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    2. 一个向量可以表示为其他向量的线性组合
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矩阵与线性变换

  • 变换：运动的函数，输入一个向量，输出一个向量。
    1. 线性变换：变化后原点固定，直线仍然是直线。（操纵空间的一种手段）
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    2. 向量在变换后的位置：可看作变换基向量，基向量线性组合变换后仍成立。
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    3. 列线性相关：二维空间变换后基向量落在同一直线上，两个向量张成一维空间。
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矩阵乘法与线性变换复合的联系

  1. 变换效果相同
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  2. 两个矩阵相乘，基向量i,j先进行变换后，乘以左右侧矩阵，就是i，j在左侧矩阵变换作用后的效果。
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行列式

  1. 二维：线性变换大小为变换后面积的比例，正负改变空间的定向。（i在j的左侧还是右侧）
  2. 三维：体积，右手定则。
  3. 计算：相关公式。
  4. 乘积的行列式等于行列式的乘积：面积缩放比例始终相等。
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逆矩阵 列空间 秩 零空间

  1. 行列式不为0（线性无关）
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  2. 行列式为0 ：与方程组相关的变换被压缩到更低的维度上。
    一个变换将空间压缩到一条直线，向量v恰好处于这条直线上，解存在。
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  3. 秩：列空间的维数
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    满秩：秩与列数相等。
    非满秩：变换后有一系列向量成为0向量。
  4. 列空间：矩阵的列张成的空间
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    零向量一定在列空间中国（线性变化保持原点不变）。
  5. 零空间/核：变换后落在圆点的向量的集合。

非方阵 不同维度直接的线性变换

  1. 3行2列矩阵：输入空间有两个基向量，每一个基向量变换后用三个独立的坐标表示。
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  2. 2行3列矩阵：输入空间三个基向量，每个基向量变换后用两个独立坐标表示，三维到二维的变换。
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  3. 1行2列矩阵：输入空间2个基向量，每个向量变换后用一个数表示 ，二维向量产生一个数。
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点积与对偶性

  1. 投影
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  2. 对偶性
    • 点积对应坐标相乘再相加为何与投影有所联系
      原本的向量经过投影矩阵（将原始坐标变换为数轴上的数，变换矩阵），变为数轴上的数。
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    • 空间中任意向量经过投影变换矩阵，与其和u（单位向量）的点击完全相同。
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    • 与单位向量的点击：将向量投影到单位向量所在直线上的投影长度。
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    • 与非单位向量的点击：朝给定单位向量上投影，将投影的值与给定向量长度相乘。
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      如果一个线性变换，输出空间是一维数轴，空间中存在唯一向量v与之相关，应用变换与向量v做点击相同。

叉积的标准介绍

  1. 大小：平行四边形面积 方向：右手定则
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  2. 计算
    行列使：变换前后面积比例的度量。
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  3. 证明
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    可变的平行六面体的体积：底确定，xyz决定高，所以线性。
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    线性之后：可通过矩阵乘法描述该函数。
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    对偶性（从多维到一维）可以把矩阵立起来，整个变换看作与特定向量的点积。
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  4. 数值意义：
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    叉乘所求的就是向量p坐标，向量p和某向量点乘时，所得结果为行列式，第一列xyz,二三列v,w。
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  5. 几何意义：
    向量p和某向量点乘时，所得结果为一个由xyz，u，v确定的平行六面体的有向体积。
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    向量p与其他向量点积的几何意义：其他向量投影到p上，投影长度与p的长度相乘。
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    u和v确定底面面积，乘以向量xyz在垂直平行四边形面积的分量，线性函数对于给定向量的作用，是将这个向量投影到垂直于u,v的直线上，投影长度与面积相乘。
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posted @ 2022-05-08 15:53  常进  阅读(816)  评论(0)  编辑  收藏  举报