天工开数特别篇——因式分解典型例题详解

天工开数特别篇——因式分解典型例题详解

俗话说

光说不练假把式

学习了那么多因式分解的技巧

拿一些题目出来练一练才是王道

下面我们来看一些经典的例题

  1. a4-a2

这一题很明显要用提取公因式的方法

原式=a2(a2-1)

做到这里很多同学觉得既然没有公因式了就大功告成了

其实不然

这里还需要用一次平方差公式

得到

原式=a2(a+1)(a-1)

  1. x4-1

这一题和上一题有所不同

这一题一开始就没有公因式可以提取

而是直接使用平方差公式来进行因式分解

原式=(x2+1)(x2-1)

这里需要注意的是

这里的x2-1还可以再因式分解

原式=(x2+1)(x-1)(x+1)

  1. 6p(x-1)3-8p2(x-1)2-2p(1-x)2

这一题看似题目这么长

实际上是个纸老虎

因为我们可以从中发现很多有用的信息

比如(x-1)经常出现

但是最后一项确实(1-x)2

但是这并不影响

因为(x-1)2=(1-x)2

原式=2p(x-1)2[3(x-1)-4p-1]

=2p(x-1)2(3x-4p-4)

  1. (3a2-b2)2-(a2-3b2)2

这一题是一个典型的利用平方差公式的题目

原式=(3a2-b2+a2-3b2)(3a2-b2-a2+3b2)

=(4a2-4b2)(2a2+2b2)

这里再提取一次公因式

=8(a2-b2)(a2+b2)

在用一次平方差

=8(a+b)(a-b)(a2+b2)

  1. 4a2b2-(a2+b2)2

除了平方差公式，完全平方公式在因式分解中的应用也很多

例如本题

对于这一题的因式分解

我们可以从两个角度区分析处理他

第一个可以从平方差的角度

原式=(2ab-a2-b2)(2ab+a2+b2)

=-(a-b)2(a+b)2

第二种角度是利用完全平方公式

原式=-(a4+b4-2a2b2)

=-(a2-b2)2

=-(a+b)2(a-b)2

  1. (a+x)4-(a-x)4

同样的，利用平方差公式

原式=[(a+x)2-(a-x)2] [(a+x)2+(a-x)2]

注意这里还能再用一次平方差公式

=(a+x+a-x)(a+x-a+x)(2a2+2x2)

=8ax(a2+x2)

  1. x4+x3+x2-1

对于这一题而言，很多同学一看到这个就想到平方差公式

原式=x4+x3+(x+1)(x-1)

后续就再难以找到公式了

像此类题目，我们最好的做法是

先对其进行分组

然后再分解

原式=(x4+x3)+(x2-1)

=x3(x+1)+(x-1)(x+1)

=(x+1)(x3+x-1)

  1. (a+b)3+(b+c)3+(a+c)3+a3+b3+c3

这一题难度比较大

需要同学们对于分组分解以及完全立方公式有一个比较熟悉的了解

首先我们需要对其进行分组

原式=[(a+b)3+c3]+[(b+c)3+a3]+[(a+c)3+b3]

=(a+b+c)(3a2+3b2+3c2)

=3(a+b+c)(a2+b2+c2)

这题的分组方法同学们可以记一下

非常经典

非常人性化

  1. x4+x3y+xz3+yz3

这一题相较于上一题就比较清晰了

这里我们还是需要先对其进行分组

原式=x3(x+y)+z3(x+y)

=(x+y)(x3+z3)

这里需要注意的是

x3+z3还可以继续因式分解

原式=(x+y)(x+z)(x2-xz+z2)

因式分解中的基本部分学到这里就差不多了

但这只是因式分解中小小的冰山一角

最多也就是预习入门

想要探索更多的有关因式分解的技巧

祝愿同学们能在S+中学到更多！

后面我们即将学习一元二次方程的相关知识

敬请期待！

我是朱超，续报，提高学习效率

Peace！

posted @ 2021-07-04 15:37  那就叫朱老师吧  阅读(296)  评论(0)    收藏  举报