c-3:位运算:位运算基本用法
基本操作
1.与运算（AND）：0 AND 0 = 0 （全为1才得1）
1 AND 0 = 0
0 AND 1 = 0
1 AND 1 = 1
用途：用来位置0，若想把FFH（11111111B,255D）第三、五（从右往左）位置0，只需 AND 11101011B(235D,E8H).
2.或运算（OR）： 0 OR 0 = 0 （只要有一个1就得1）
1 OR 0 = 1
0 OR 1 = 1
1 OR 1 = 1
用途：用来位置1，若想把9EH（10011110B,158D）第二、三、四（从右往左）位置1，只需
OR 00001110B(14D,EH).
3.取反运算（NOT）: NOT 1 = 0
NOT 0 = 1
用途：用来整体取反，不能位取反。
4. 异或运算（XOR）： 0 XOR 0 = 0 (不同为1，相同为0)
1 XOR 0 = 1
0 XOR 1 = 1
1 XOR 1 = 0
用途：用来位取反，若想把9EH（10011110B,158D）第二、三、四（从右往左）位取反，只需
XOR 00001110B(14D,EH).
附：异或的特殊性：
若 A XOR B = C,则 A XOR C = B,B XOR C = A.
扩展成 A XOR B XOR C = D,结论同样成立//PS：我还没证明
位运算是指按二进制进行的运算。在系统软件中，常常需要处理二进制位的问题。C语言提供了6个位操作
运算符。这些运算符只能用于整型操作数，即只能用于带符号或无符号的char,short,int与long类型。
C语言提供的位运算符列表：
运算符 含义 描述
& 按位与 如果两个相应的二进制位都为1，则该位的结果值为1，否则为0
| 按位或 两个相应的二进制位中只要有一个为1，该位的结果值为1
^ 按位异或 若参加运算的两个二进制位值相同则为0，否则为1
~ 取反 ~是一元运算符，用来对一个二进制数按位取反，即将0变1，将1变0
<< 左移 用来将一个数的各二进制位全部左移N位，右补0
>> 右移 将一个数的各二进制位右移N位，移到右端的低位被舍弃，对于无符号数，高位补0
1、“按位与”运算符（&）
按位与是指：参加运算的两个数据，按二进制位进行“与”运算。如果两个相应的二进制位都为１，
则该位的结果值为1；否则为0。这里的1可以理解为逻辑中的true,0可以理解为逻辑中的false。按位与其
实与逻辑上“与”的运算规则一致。逻辑上的“与”，要求运算数全真，结果才为真。若，
A=true,B=true,则A∩B=true 例如：3&5 3的二进制编码是11(2)。（为了区分十进制和其他进制，本文规
定，凡是非十进制的数据均在数据后面加上括号，括号中注明其进制，二进制则标记为2）内存储存数据
的基本单位是字节（Byte），一个字节由8个位（bit)所组成。位是用以描述电脑数据量的最小单位。二
进制系统中，每个0或1就是一个位。将11（2）补足成一个字节，则是00000011（2）。5的二进制编码是
101（2），将其补足成一个字节，则是00000101（2）
按位与运算：
00000011(2)
& 00000101(2)
00000001(2)
由此可知3&5=1
c语言代码：
#include <stdio.h>
main()
{
int a=3;
int b = 5;
printf("%d",a&b);
}
按位与的用途：
（1）清零
若想对一个存储单元清零，即使其全部二进制位为0，只要找一个二进制数，其中各个位符合一下条件：
原来的数中为1的位，新数中相应位为0。然后使二者进行&运算，即可达到清零目的。
例：原数为43，即00101011（2），另找一个数，设它为148，即10010100（2），将两者按位与运算：
00101011（2）
& 10010100（2）
00000000（2）
c语言源代码：
#include <stdio.h>
main()
{
int a=43;
int b = 148;
printf("%d",a&b);
}
（2）取一个数中某些指定位
若有一个整数a(2byte),想要取其中的低字节，只需要将a与8个1按位与即可。
a 00101100 10101100
b 00000000 11111111
c 00000000 10101100
（3）保留指定位：
与一个数进行“按位与”运算，此数在该位取1.
例如：有一数84，即01010100（2），想把其中从左边算起的第3，4，5，7，8位保留下来，运算如下：
01010100(2)
& 00111011(2)
00010000(2)
即：a=84,b=59
c=a&b=16
c语言源代码：
#include <stdio.h>
main()
{
int a=84;
int b = 59;
printf("%d",a&b);
}
2、“按位或”运算符（|）
两个相应的二进制位中只要有一个为1，该位的结果值为1。借用逻辑学中或运算的话来说就是，一真为真
。
例如：60（8）|17（8）,将八进制60与八进制17进行按位或运算。
00110000
|00001111
00111111
c语言源代码：
#include <stdio.h>
main()
{
int a=060;
int b = 017;
printf("%d",a|b);
}
应用：按位或运算常用来对一个数据的某些位定值为1。例如：如果想使一个数a的低4位改为1，则只需要
将a与17（8）进行按位或运算即可。
3、“异或”运算符（^）
他的规则是：若参加运算的两个二进制位值相同则为0，否则为1
即0∧0=0，0∧1=1，1∧0=1， 1∧1=0
例： 00111001
∧ 00101010
00010011
c语言源代码：
#include <stdio.h>
main()
{
int a=071;
int b = 052;
printf("%d",a^b);
}
应用：
（1）使特定位翻转
设有数01111010（2），想使其低4位翻转，即1变0，0变1.可以将其与00001111（2）进行“异或”运算，
即：
01111010
^00001111
01110101
运算结果的低４位正好是原数低４位的翻转。可见，要使哪几位翻转就将与其进行∧运算的该几位置为１
即可。
(２)与0相“异或”，保留原值
例如：012^00=012
00001010
^00000000
00001010
因为原数中的1与0进行异或运算得1，0^0得0，故保留原数。
(３) 交换两个值，不用临时变量
例如：ａ＝３，即11（2）；ｂ＝４，即100（2）。
想将ａ和ｂ的值互换，可以用以下赋值语句实现：
ａ＝a∧b;
ｂ＝b∧a;
ａ＝a∧b;
ａ＝011(2)
（∧）ｂ＝100(2)
ａ＝111(2)（a∧b的结果，a已变成７）
（∧）ｂ＝100(2)
ｂ＝011(2)（b∧a的结果，b已变成３）
（∧）ａ＝111(2)
ａ＝100（2）（a∧b的结果，a已变成４）
等效于以下两步：
① 执行前两个赋值语句：“ａ＝ａ∧ｂ；”和“ｂ＝ｂ∧ａ；”相当于b=b∧(a∧b)。
② 再执行第三个赋值语句： ａ＝ａ∧ｂ。由于a的值等于（ａ∧ｂ），b的值等于（ｂ∧ａ∧ｂ），
因此，相当于a=ａ∧ｂ∧ｂ∧ａ∧ｂ，即a的值等于ａ∧ａ∧ｂ∧ｂ∧ｂ，等于ｂ。
很神奇吧！
c语言源代码：
#include <stdio.h>
main()
{
int a=3;
int b = 4;
a=a^b;
b=b^a;
a=a^b;
printf("a=%d b=%d",a,b);
}
4、“取反”运算符（~）
他是一元运算符，用于求整数的二进制反码，即分别将操作数各二进制位上的1变为0，0变为1。
例如：~77(8)
源代码：
#include <stdio.h>
main()
{
int a=077;
printf("%d",~a);
}
5、左移运算符（<<）
左移运算符是用来将一个数的各二进制位左移若干位，移动的位数由右操作数指定（右操作数必须是非负
值），其右边空出的位用0填补，高位左移溢出则舍弃该高位。
例如：将a的二进制数左移2位，右边空出的位补0，左边溢出的位舍弃。若a=15,即00001111（2），左移2
位得00111100（2）。
源代码：
#include <stdio.h>
main()
{
int a=15;
printf("%d",a<<2);
}
左移1位相当于该数乘以2，左移2位相当于该数乘以2*2＝4,15＜＜2=60，即乘了４。但此结论只适用于该
数左移时被溢出舍弃的高位中不包含1的情况。
假设以一个字节（８位）存一个整数，若ａ为无符号整型变量，则ａ＝64时，左移一位时溢出的是0
，而左移2位时，溢出的高位中包含1。
6、右移运算符（>>）
右移运算符是用来将一个数的各二进制位右移若干位，移动的位数由右操作数指定（右操作数必须是非负
值），移到右端的低位被舍弃，对于无符号数，高位补0。对于有符号数，某些机器将对左边空出的部分
用符号位填补（即“算术移位”），而另一些机器则对左边空出的部分用0填补（即“逻辑移位”）。注
意：对无符号数,右移时左边高位移入0；对于有符号的值,如果原来符号位为0(该数为正),则左边也是移
入0。如果符号位原来为1(即负数),则左边移入0还是1,要取决于所用的计算机系统。有的系统移入0,有的
系统移入1。移入0的称为“逻辑移位”,即简单移位；移入1的称为“算术移位”。
例： a的值是八进制数113755：
a:1001011111101101 （用二进制形式表示）
a>>1: 0100101111110110 (逻辑右移时)
a>>1: 1100101111110110 (算术右移时)
在有些系统中,a>>1得八进制数045766,而在另一些系统上可能得到的是145766。Turbo C和其他一些C
编译采用的是算术右移,即对有符号数右移时,如果符号位原来为1，左面移入高位的是1。
源代码：
#include <stdio.h>
main()
{
int a=0113755;
printf("%d",a>>1);
}
7、位运算赋值运算符
位运算符与赋值运算符可以组成复合赋值运算符。
例如: &=, |=, >>=, <<=, ∧=
例： a & = b相当于 a = a & b
a << =2相当于a = a << 2
位运算加速技巧
1. 如果乘上一个2的倍数数值，可以改用左移运算(Left Shift) 加速 300%
x = x * 2;
x = x * 64;
//改为:
x = x << 1; // 2 = 21
x = x << 6; // 64 = 26
2. 如果除上一个 2 的倍数数值，可以改用右移运算加速 350%
x = x / 2;
x = x / 64;
//改为:
x = x >> 1;// 2 = 21
x = x >> 6;// 64 = 26
3. 数值转整数加速 10%
x = int(1.232)
//改为:
x = 1.232 >> 0;
4. 交换两个数值(swap)，使用 XOR 可以加速20%
var t:int = a;
a = b;
b = t;
//equals:
a = a^b;
b = a^b;
a = a^b;
5. 正负号转换，可以加入 300%
i = -i;
//改为
i = ~i + 1; // NOT 写法
//或
i = (i ^ -1) + 1; // XOR 写法
6. 取余数，如果除数为 2 的倍数，可利用 AND 运算加速 600%
x = 131 % 4;
//equals:
x = 131 & (4 - 1);
7. 利用 AND 运算检查整数是否为 2 的倍数，可以加速 600%
isEven = (i % 2) == 0;
//equals:
isEven = (i & 1) == 0;
8. 加速 Math.abs 600% 的写法1，写法2 又比写法1加速 20%
//写法1
i = x < 0 ? -x : x;
//写法2
i = (x ^ (x >> 31)) - (x >> 31);
//写法3
i=x^(~(x>>31)+1)+(x>>31);
9. 比较两数值相乘之后是否拥有相同的符号，加速 35%
eqSign = a * b > 0;
//equals:
eqSign = a ^ b > 0;
这里5、6、8、9自己都想不出来咋证明。//先放在这里
给集合里的元素一个顺序，那么就可以用整数表示集合，某一位为1表示对应元素被选取。
设x为表示集合的整数，那么这个整数有如下性质：
x的子集整数y在数值上不会比x大。因为x的子集y只是保留了x某些位置上的1，所以y总可以加上一个非负的整数z等于x，相当于把没选的1补上。
根据这个性质可知，可以通过枚举所有比x小的数p并判断，p是否只含x对应位上的1，如果是则p是x的子集，否则不是。这样时间复杂度是严格的x。有没有更快的呢，有的。
上诉枚举p是通过减一操作，并且我们知道减一操作一定是正确的，那么在枚举的时候如何快速的去掉多余的状态，答案就是和x进行&（与）运算。与运算可以快速跳到下一个子
集。
&运算本质就是保留p在x对应位为1的数值，而根据二进制减法可知减一操作都是把p最低位的1消去，在那一位后全补上1，如果在x对应位为0的地方产生了1其实是无效的，
后续的减一操作也会把它消掉，所以直接&运算可以快速去掉多余的状态。时间复杂度是x的子集数。
-
for(int i=x;i;){ -
i=(i-1)&x; -
}
①判断n是否是2的整次幂 link
-
bool fun(int n){ -
return (!(n & (n-1))) && n; -
}
lowbit(x)是x的二进制表达式中最低位的1所对应的值。
比如，6的二进制是110，所以lowbit(6)=2。
-
int lowbit(int x){ -
return x&(-x); -
}
去除某个数的某一位
-
bool get_bit(int t,int x) { -
// 在 t 中，取出第 x 位 --从零开始 -
return t & (1<<(x)); -
}
改位
-
#define set_bit(x,ith,bool) ((bool)?((x)|(1<<(ith))):((x)&(~(1<<(ith))))); -
//从零开始 -
// 设置 x 的从第 ith 位起连续 k 位 为bol -
int mset(int x,int ith,int k,int bol) -
{ -
while(k --)x = set_bit(x,ith+k,bol); -
return x; -
}
gcc编译器的内建函数，__builtin_popcount(x)
直接统计整数x转换成2进制中有多少1。
bitset
什么是bitset
bitset 是STL库中的二进制容器，根据C++ reference 的说法，bitset可以看作bool数组，但优化了空间复杂度和时间复杂度，并且可以像整形一样按位与或。
使用方法
申明
bitset的申明要指明长度
|
1 |
|
这样就申明了一个长度为length的名叫bi的bitset
赋值
bitset重载了[]运算符，故可以像bool数组那样赋值
bi[2] = 1;
这样就能将第二位赋值为1
常用函数
b1 = b2 & b3;//按位与 b1 = b2 | b3;//按位或 b1 = b2 ^ b3;//按位异或 b1 = ~b2;//按位补 b1 = b2 << 3;//移位
int one = b1.count();//统计1的个数
优化作用
常常碰到处理的数组只有0和1的变化，此时就可以使用bitset优化。比如求两个集合的交集可以使用按位与运算，求并集可以使用按位或运算
常用的成员函数：
b.any() b中是否存在置为1的二进制位？
b.none() b中不存在置为1的二进制位吗？
b.count() b中置为1的二进制位的个数
b.size() b中二进制位数的个数
b[pos] 访问b中在pos处二进制位
b.test(pos) b中在pos处的二进制位置为1么？
b.set() 把b中所有二进制位都置为1
b.set(pos) 把b中在pos处的二进制位置为1
b.reset( ) 把b中所有二进制位都置为0
b.reset( pos ) 把b中在pos处的二进制位置置为0
b.flip( ) 把b中所有二进制位逐位取反
b.flip( pos ) 把b中在pos处的二进制位取反
b.to_ulong( ) 把b中同样的二进制位返回一个unsigned
//to_ulong()没有看懂，目前到此为止，需要先学习别的内容，这里放下等待看和学习的博客
