仿射密码
仿射密码简介:
仿射密码和移位密码一样, 也是一种替换密码. 不同的是, 移位密码中, 我们使用的是模n加; 而在下面的仿射密码中,
我们使用的上一节中介绍的模n乘. 在安全性方面, 仿射密码同移位密码一样, 都是极其差的, 不仅因为他们的原理简单,
更要命的是这两种替换密码没有隐藏明文的字频信息, 这很容易导致破解者轻易的攻破.
放射密码中的一些概念:
1)
明密文字母表为Z26
2) 秘匙 K = (a,b) ∈ Z26_ × Z26 . 其中Z26_
表示小于26且与26互素(或叫互质)的正整数的集合,这点非常重要的.
3) 加密变换为 y = (ax + b) mod 26
;
很简单?(呵呵, 先别急.) 我们先来引入一个定义.
大家知道, 好多东西都有逆,
大家读小学时都知道,两个数相乘乘机为1,则互为倒数, 其实是最简单的逆. 后来, 我们到了高中, 我们学习了逆函数; 到了大学, 我们学习线性代数,
知道两个矩阵的乘积为单位矩阵的话, 则这两个矩阵互为逆矩阵.
现在我跟大家介绍另一种逆. 叫模逆. 其实很好理解的,
如下:
若a,b两数的乘积对正整数n取模的结果为1. 则称a,b 互为另外一个的模逆.
比如:
3*7 = 21; 21 % 20 = 1 ;
所以3,7 互为 20 的 模逆.
9*3 = 27; 27 % 26 = 1 ; 所以9,3 互为 26 的 模逆.
如何标记?
若a,b互为n的模逆 , 即b 为a 的模n的逆元 , 则记 b 为 a-1mod n 看了上面的定义, 我们知道:只有当 a 与 n 互素的时候, a 才是有模逆的. 其他情况下是不存在模逆的, 比如 2
对26 就没有模逆. 这是个很简单的数学问题, 大家动下手, 画几笔就清楚了.我就不多罗嗦了.
[思考] 大家能快速的求出11对123的模逆吗?
(放心,11和123是互素的.)
可能大家会这样想:设其模逆为 b , 则 必定存在一个整数 t , 使得等式 11b =
123t + 1 成立.我们再变化一下, 也即所求为 必须使得 (11b - 1) % 123 = 0 恒成立. 到了这里,
如果使用笔算对b从2开始依次递加穷举的话,将会非常辛苦, 若将123换成一个更大一点的数, 用笔算穷举更是不可能的.聪明你的肯定想说,
写个程序算就行了啊. 不错, 写个程序帮我们穷举的确很棒, 充分发挥了计算机的作用. 但这里, 我介绍给大家另外一种巧妙的方法 ----
扩展欧几里德变换:
123 = 1*123+ 0*11
11 = 0*123+ 1*11 |11
2 = 1*123+
(-11)*11 |5
1 = (-5)*123+ 56*11
聪明的你, 一定看出来了吧. 对! 我们将123和11都表示成 x
* 123 + y * 11 的 格式, 然后相减, 在最右侧一栏写上每次减去的被减数的倍数. 依次进行, 知道减数变为1为止.
然后我们取第三列的最下面的一个数, 再对123 取模 即得11 对123的模逆. 对于这个变换, 不清楚的朋友,我劝你们最好动笔画几下.
那样比我在这里说的起作用的多.嘿嘿~~
这个算法的好处:我们编写这个算法的程序去求任何模逆都是非常高效的,
它帮我们以及CPU都节省了不少时间.为了加深理解, 来看一个例子:
[例子] :求 1211对13211的模逆
.
13211 1 0 //这一行的1和0是固定的.
1211 0 1 |10 //这一行0和1也是固定的,
后面的10是13211减掉的1211的倍数.意思为减掉10个1211.
1101 1 -10 |1 //第一个1为上一行的第二个1抄下来;-10 = 0
- 1*10 (上一行的算这一行的);后面的1依然为减掉的倍数.
110 -10 11 |10 //-10 为带抄下来, 11 = 1 - (-10)
*1 , 10 为倍数.
1 -120 //很快就到1了, 这时的 -120 就是我们要的.
-120 % 13211= 13091 即为
1211 对13211 的模逆. 怎么样? 不错吧. 呵呵.
我们可以用如下一段小程序来完成模逆的计算:
int Moni(int a,int n)
{
int p=a,q=n, t;
int x = 0, y = 1, z = (int)q/p;
while(1 != p && 1 != q)
{
t = p;
p = q % p;
q = t;
t = y;
y = x - y*z;
x = t;
z = (int) q/p;
}
y = y%n;
if (y<0)
{
y += n;
}
return y;
}
[再来看仿射]
刚才费了这么大的劲, 介绍了模逆,
还是为了在给仿射密码的解密打地基.
我们看上面的放射密码的加密公式 : y = (ax + b) mod 26 .
根据简单的数论知识,
我们知道其解密变换为: x = a-1(y-b) mod 26 .(其中a-1中-1在右上角, 为a对26的模逆).
也即 x =
a对26的模逆与(y-b)相乘后的积再对26取模, 最终结果即为解密后的内容.
下面我们来看一个实例:
[例子]
已知仿射密码中密文为JACKOZOO ,字母表为Z26, 秘匙 K = (11,7) , 试解密.
解: 先求11对26的模逆:
11-1mod26 = 19 .
故解密变换为: x = 19(y-7) mod 26 ;
由 JACKOZOO
---> 9 0 2
10 14 25 14 14
---> 12 23 9 5 3 4 3 3
---> M X J F D E D
D
所以明文为: MXJFDEDD.
有错，望指教！
