【题解】一本通1224：最大子矩阵

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题目

1224：最大子矩阵

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【题目描述】

已知矩阵的大小定义为矩阵中所有元素的和。给定一个矩阵，你的任务是找到最大的非空(大小至少是1×11×1)子矩阵。

比如，如下\(4×4\)的矩阵

0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2

的最大子矩阵是

9 2
-4 1
-1 8
这个子矩阵的大小是1515。

【输入】

输入是一个N×NN×N的矩阵。输入的第一行给出N(0<N≤100)N(0<N≤100)。再后面的若干行中，依次(首先从左到右给出第一行的NN个整数，再从左到右给出第二行的NN个整数……)给出矩阵中的N2N2个整数，整数之间由空白字符分隔(空格或者空行)。已知矩阵中整数的范围都在[−127,127][−127,127]。

【输出】

输出最大子矩阵的大小。

【输入样例】

4
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2

【输出样例】

15

做法

暴力

我的做法就是暴力枚举，两层循环枚举矩阵左上角的坐标，再两层循环枚举右下角坐标，然后求值。
ans 就是所有值中取个max。

前缀和优化

在求矩阵和时，我们不用一个点一个点的累加，而是可以预先求出每一行的值，一行一行地累加。
这就用到了前缀和。用qian[h][i]记录第h行，从第一个元素到第i个元素的和，这样用qian[h][m] - qian[h][n - 1]就能得到第\(h\)行从第\(n\)列到第\(m\)列的值了。

注意

由于一个点可能是负的，所以ans要初始为负无穷

详注释代码

#define F(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define UF(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define INF  0x3fffffff
using namespace std;

const int N = 110;
int n, G[N][N];//G存大矩阵 
int a, b, x, y;
int qian[N][N];//前缀和优化 
int ans = -INF;//ans初始为负无穷 
int val(int a, int b, int x, int y){//左上（a,b)右下(x,y) 
	int res = 0;//res用来累加矩阵和 
	F(i,a,x){//矩阵是第a行到第x行 
		res += qian[i][y] - qian[i][b - 1];//每一行是第b列到第y列 
	}
	return res;
}
int main()
{
	//输入 
	cin >> n;
	F(i,1,n){
		F(j,1,n)	cin >> G[i][j];
	}
	//得到前缀和 
	F(h,1,n){
		F(i,1,n){
			qian[h][i] = qian[h][i - 1] + G[h][i];
		}
	}
	//枚举左上点和右下点 
	F(a,1,n){
		F(b,1,n){
			F(x,a,n){
				F(y,b,n){
					ans = max(ans, val(a,b,x,y));//更新答案 
				}
			}
		}
	}
	//输出 
	cout << ans;
	return 0;
}