【题解】P1020 导弹拦截
【题解】P1020 导弹拦截
从n^2到nlogn
第二问就是贪心，不多说
第一问：
简化题意：求最长不下降子序列
普通n^2:
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j < i; j++)
if(a[j] >= a[i])
f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
cout << f[n];
另一种n^2级，可能快一点点(还没交，不知对不对）
f[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
if(a[i] == 0)
continue;
f[a[i]] = f[a[i] - 1] + 1;
for (int j = a[i]; j <= max_ai; j++)
f[j] = max(f[j], f[a[i]]);
}
cout << f[max_ai] << endl;
接下来就是大佬讲的nlogn
题解(@w1049344862)
首先是upper_bound（） 和lower_bound()的用法
然后是神奇的栈操作
w1049344862曰：
O(nlogn)求出最长不上升子序列的长度
(即一套系统最多拦截数)
1.实现方式
首先我们需要一个数组a，存储从第1个到第n个导弹的高度
然后一个数组d(其实是个栈)，存储不上升序列
把a中的每个元素挨个加到d里面：
(a中第i个元素为a[i]，d长度为len，d中最后一个(也是最小的一个)为d[len])
如果a[i] <= d[len]，说明a[i]可以接在d后面(而整个d还是有序的)，那就简单粗暴地把a[i]丟进d：
d[ ++len ] = a[i]
如果a[i] > d[len]，说明a[i]接不上
但是我们发扬瞎搞精神：接的上要接，接不上创造条件也要接！
强行把a[i]塞进去：
在d中找到第一个小于a[i]的数，把它踹了，用a[i]代替它！(为什么正确在下面）
假设这个数是y，怎样踹掉它呢？
很明显，我们需要使用lower_bound和upper_bound来查找
第一步，找一个听起来无比正确的理由，比如它占着位置不干活啦，干起活来还不如a[i]啦，naive啦，它too young啦，too simple啦......反正能骗过lower_bound和upper_bound就行
(lower_bound&&upper_bound：你当我们傻)(w1049：真聪明)
接下来，特别有正义感的lower_bound和upper_bound就会去把y给拎出来
第二步，考虑使用什么
我们知道，要求的是最大不上升子序列长度，也就是如果两个元素相等也是可以的
所以我们踹人就不用踹等于a[i]的了
结合上面，应该使用upper_bound(终于想起来它了)并且使用>作为比较器(这是个下降序列)
第三步，直接开搞
int p = upper_bound(d + 1, d + 1 + len, a[i], greater
d[p] = a[i];
成功把a[i]塞了进去
2.为什么正确
显然成立
如果y在末尾，由于y < a[i]，所以y后面能接的不如a[i]多，y让位给a[i]可以让序列更长
如果y不在末尾，那y有生之年都不会再被用到了，直接踹了y就行，y咋样，who care？
注意到lower_bound只能在有序序列中使用，此时d还有序吗？
当然有序。(本文第一个句号)
假设y前一个y1，y后一个是y2，则
y1 > y > y2
因为y是第一个小于a[i]的，所以
y1 > a[i]
又因为
a[i] > y > y2
所以
y1 > a[i] > y2
对比下原来的式子
y1 > y > y2
a[i]可以完美代替y，至于y以后咋办，who care？
对于最长上升子序列，只需要把上面的过程通通换一下符号
可以用以下方法证明：
反之亦然同理，推论自然成立，略去过程QED，由上可知证毕(多么美妙的证明)
3.代码：
for(int i=2;i<=n;i++)
if(d[len]>=a[i])d[++len]=a[i];
else {
int p=upper_bound(d+1,d+1+len,a[i],greater
d[p]=a[i];
}
最后len就是要求的最大不上升子序列长度
但要注意的是，d中存储的并不是最大不上升子序列！
原因如下：
即得易见平凡，仿照上例显然，留作习题答案略，读者自证不难
以上是洛谷题解）哈哈，诙谐的作业确让人思考
为啥len=答案？？
每加入一个，肯定是经比较满足最长不下降子序列后才扩栈的。
也就是在第i个元素时，len一旦+1，前提都是存在以a[i]结尾的且长为len的最长不下降子序列。
你想，更新栈内元素，使小的被较大的覆盖，并不改变原来元素所构成的序列的存在性。（这就是正确性）
而这次更新的操作，是为了贪心得到更优解（当然不是让栈内成为新的序列（栈内本来就不是个序列））。
下次有元素，加到大点的元素后面比加到小点的元素后面更优。为啥？？
他的作用体现出来就是更新到栈顶时，栈顶元素变大了，自然就更有可能多捞一个比它小的新元素。
AC代码
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <stack>
#define N 100010
#define F(i,a,b) for(int i = a; i <= b; i++)
#define UF(i,a,b) for(int i = a; i >= b; i--)
using namespace std;
int a[N], n, len, d[N], max_ai, ans;
int high[50010];
int main()
{
while(cin >> a[++n])
max_ai = max(max_ai,a[n]);
n--;
d[++len] = a[1];
F(i,2,n){
if(a[i] <= d[len])
d[++len] = a[i];
else{
int p1=upper_bound(d+1,d+1+len,a[i],greater<int>())-d;//upper_bound() 本来是找大于a[i]的，此找小于a[i]的，利用greater
d[p1] = a[i];
}
}
// F(i,1,len) cout << d[i] << " ";
// cout << endl;
cout << len << endl;
F(i,1,n){
int t = 0;
F(j,a[i],max_ai){
if(high[j]){
high[j] --;
high[a[i]] ++;
t = 1;
break;
}
}
if(!t){
high[a[i]] ++;
ans ++;
}
}
cout << ans << endl;
return 0;
}
总结
写博客方面：
1.如果是给别人看，语言要有逻辑顺序，应该对铺垫知识先行处理。即使写给自己，这也是个好习惯。
2.短句
3.轻松诙谐
最重要还是学了upper_bound()和upper_bound()(仅仅是知道）
更重要是了解了这巧妙的思想
