博弈论之SG函数
参考自《算法竞赛进阶指南》
\(NIM\)博弈：
\(n\)堆物品，第\(i\)堆物品有\(A_i\)个。两名玩家轮流行动，每次可以任选一堆，取走任意多个物品，可把一堆取光，但不能不取。取走最后一件物品的人获胜。假设两人每一步都必然采取最优的策略。问先手是否必胜。
定理：
若先手必赢，那么当且仅当满足：\(A_1 \,\, xor \,\, A_2 \,\, xor \,\, A_3 \,\, ... \,\, xor \,\, A_n != 0\)
两个概念：
必败局面：若某一局面无论采取什么行动，都会输掉游戏，则称该局面必败。
必胜局面：若在某一局面下采取某种行动后可以使对手面对必败局面，那么优先采取此行动，那么这种局面叫必胜局面。
证明：
- 如果所有物品被取光，那么即\(A_i = 0\)，那么这是一个必败局面，则满足:\(A_1 \,\, xor \,\, A_2 \,\, xor \,\, A_3 \,\, ... \,\, xor \,\, A_n == 0\)
- 对于任意一个\(A_1 \,\, xor \,\, A_2 \,\, xor \,\, A_3 \,\, ... \,\, xor \,\, A_n = x != 0\)局面，那么我们应该证明它一定可以采取一定行动来出现\(x = 0\)的局面（即对手必败局面）。
- 设\(x\)的二进制表示下最高位的\(1\)在第\(k\)位，那么至少存在一堆石子\(A_i\)，它的第\(k\)位是\(1\)，显然\(A_i \,\, xor \,\, x \,\, < \,\, A_i\)，然后我们便可以从\(A_i\)中取走\(A_i - A_i \,\, xor \,\, x\)个石子，使这堆石子变为\(A_i \,\, xor \,\, x\)个石子，那么代入式子得：\(x \,\, xor \,\, x = 0\)
- 对于任意一个\(A_1 \,\, xor \,\, A_2 \,\, xor \,\, A_3 \,\, ... \,\, xor \,\, A_n = x == 0\)局面，那么我们应该证明无论采取什么行动都不可能出现出现\(x = 0\)的局面。
- 用反证法证明：假设\(A_i\)被取成了\(A_i'\)，那么此时就应该满足\(A_1 \,\, xor \,\, A_2 \,\, xor \,\, A_3 \,\, ... \,\, xor \,\, A_i', \,\, ... \,\, xor \,\, A_n != 0\)，由于\(A_1 \,\, xor \,\, A_2 \,\, xor \,\, A_3 \,\, ... \,\, xor \,\, A_n == A_i\)， 那么则出现了\(A_i \,\, xor \,\, A_i' == 0\)得情况，说明\(A_i == A_i'\)，那么这显然不对与题目要求“不能不取石子”矛盾。
Mex运算
设\(S\)表示一个非负整数集合。定义\(mex(S)\)为求出不属于集合S得最小非负整数的运算，即：
SG函数
有向图中，对于每个节点\(x\)，设从\(x\)出发共有\(k\)条有向边，分别到达节点\(y_1, y_2, ..., y_k\)，定义\(SG(x)\)为\(x\)的后继节点\(y_1, y_2, ..., y_k\)的\(SG\)函数值构成的集合，再执行\(mex\)运算，即：
整个有向图的\(SG\)函数就是图的起点的\(SG\),\(SG(G) = SG(s)\)
那么多个有向图的游戏中，行动规则是任选一个有向图\(G_i\)，并在\(G_i\)中行动一步，那么类比于\(NIM\)游戏，如果满足：
那么此时是必胜局面，证明方法与\(NIM\)博弈类似
否则必败局面。
理解：
在一个没有出边的节点上，不能进行任何操作，那么它的\(SG = 0\)，此时就是必败局面。
对于一个节点的某一个后继节点\(SG = 0\)的情况，在\(mex\)运算后，该节点\(SG > 0\)，那么等价于当前局面是必胜局面，因为后继界面是必败界面。
对于一个节点的后继节点\(SG\)均不为\(0\)，在\(mex\)运算后，该节点\(SG\)值为\(0\)，那么当前就是一个必败界面。
理论部分结束！
后边新学知识我再补上。
