寻找最大的K个数

前提条件：有N个无序的数，假定它们各不相等，如何选出其中最大的若干个数

解法一：

适用于元素数量不多，内存中可存储整个数组序列。通过快速排序或堆排序对数组排序，时间复杂度为O(N*log₂N)，然后取出前K个数，时间复杂度为O(K)，总时间复杂度为O(N*log₂N) + O(K)，进一步的，可以知道，我们只需要前 K 大的数，所以并不需要对前 K 个数排序，也不需要对后 N - K 个数排序，这样，通过部分排序的思想，可以选用选择排序，选出前 K 大的值，总时间复杂度为O(N*K)，至于选用哪种方式，根据 K 的大小进行选择。

解法二：

适用于元素数量不多，内存中可存储整个数组序列。根据快速排序的思想，每一步中都是将待排序数据分做两组，其中一组数据的任一元素都比另一组数据的任一元素大或者小，因此在本问题中，可以考虑，从数组 S 中随机选出一个元素 X ，把数组分为两部分 Sa 和 Sb，Sa 的元素大于等于 X，Sb的元素小于X。这时，有两种可能性：

• Sa 中元素的个数小于K，Sa 中所有的数和 Sb 中最大的 K - |Sa| 个元素
• Sa 中原色的个数大于或等于 K，则需要返回 Sa 中最大的 K 个元素

时间复杂度为O(N*log₂K)。

解法三：

适用于元素数量不多，内存中可存储整个数组序列。寻找 N 个数中最大的 K 个数，其实就是要找出 K 个数中最小的那个，那么可以通过二分测探的方式，在这 N 个数所在的区间进行探测。假设 N 个数中最大的是 Vmax，最小的是 Vmin，那么这 N 个数中的第 K 大数就在区间 [Vmin,Vmax]之间，在这个区间二分搜索第 K 大的数。时间复杂度为 O(N*log₂N)。

解法四：

 维护一个 K 大小的堆，当前遍历的元素比堆中最小元素大，那么就更新这个堆，最后堆中的 K 个元素就是最大的 K 个数。时间复杂度为O(N*log₂K)。这种方法适用于内存无法存储所有的 N 个数。一般情况下，内存中都可以维护一个 K 大小的堆，但是当 K 也特别大，以至于内存中无法存储 K 大小的堆的时候，可以尝试找出 K‘ 个元素，然后再找出 K' + 1 到 2K' 的元素，这样，需要遍历全部元素 K / K’ 趟。

解法五：

如果所有的元素都是正整数，且其范围不大，那么可通过计数排序的思想，来获得前 K 大的值。比如所有整数都在 [0,MAX] 区间，那么通过一个 cnt[MAX] 数组记录元素出现的次数，然后从大到小取出 K 个最大的元素。在实际情况，往往并不能保证所有数都是正整数，且元素都是小范围，那么当元素有正有负，其其范围涵盖较广的情况，可以将元素所在区间 [Vmin,Vmax] 分成M块，每个小区间跨度在 （Vmax - Vmin）/ M，统计各个小区间内元素的个数，可知前 K 大的数在哪个区间，然后再对那个区间进行处理，对小区间处理方式就可参考前面所述的几种方法了。

写在最后

以上参考自 《编程之美》