卡特兰数

         卡特兰数又称卡塔兰数，英文名Catalan number，是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。由以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)命名，其前几项为 : 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...

 

 

原理：

 

　　

令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式[1] ：

h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)

例如：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2

h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5

另类递推式[2] ：

h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);

递推关系的解为：

h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)

递推关系的另类解为：

h(n)=c(2n,n)-c(2n,n+1)(n=0,1,2,...)

 

 

应用：

    ▪ 括号化▪ 出栈次序▪ 凸多边形三角划分▪ 给定节点组成二叉树

 

 

代码：

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <sstream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <bitset>
#include <vector>
#include <queue>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <list>
#include <set>
using namespace std;
/***************************************/
#define ll long long
#define int64 __int64
/***************************************/
const int INF = 0x7f7f7f7f;
const ll LINF = (1LL<<60);
const double eps = 1e-8;
const double PIE=acos(-1.0);
const int d1x[]= {0,-1,0,1};
const int d1y[]= {-1,0,1,0};
const int d2x[]= {0,-1,0,1};
const int d2y[]= {1,0,-1,0};
const int fx[]= {-1,-1,-1,0,0,1,1,1};
const int fy[]= {-1,0,1,-1,1,-1,0,1};
inline int min_32(int (a),int (b))
{
    return (a)<(b)?(a):(b);
}
inline int max_32(int (a),int (b))
{
    return (a)>(b)?(a):(b);
}
inline long long min_64(long long (a),long long (b))
{
    return (a)<(b)?(a):(b);
}
inline long long max_64(long long (a),long long (b))
{
    return (a)>(b)?(a):(b);
}
/***************************************/
void openfile()
{
    freopen("data.in","rb",stdin);
    freopen("data.out","wb",stdout);
}
/**********************华丽丽的分割线,以上为模板部分*****************/


//卡特兰数  其前几项为 : 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440,
//  9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190


int a[22];

int main()
{

    int n;
    a[0]=1;
    int i,j;
    scanf("%d",&n);
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        a[i]=(a[i-1]*(4*i-2))/(i+1); //公式
    }
    printf("%d\n",a[n]);
    return 0;
}