【拓展】物理奥赛

开始学物理了！！！

先做两道题：

• 质量分别为m1和m2的两个小物块用轻绳连结，绳跨过位于倾角α ＝ 30°的光滑斜面顶端的轻滑轮，滑轮与转轴之间的磨擦不计，斜面固定在水平桌面上，如图所示。第一次，m1悬空，m2放在斜面上，用t表示m2自斜面底端由静止开始运动至斜面顶端所需的时间。第二次，将m1和m2位置互换，使m2悬空，m1放在斜面上，发现m1自斜面底端由静止开始运动至斜面顶端所需的时间为t/3。求ml与m2之比。 
  

一开始错写成

\[\frac {m_1g - \frac{1}{2} m_2g} {m_2} \cdot \frac{t}{2}= \frac {m_2g - \frac{1}{2} m_1g}{3m_1} \cdot \frac{t}{6} \]

后来发现其实根本不是那样的，绳的拉力并不等于重力
【正解】
第一次物块运动的加速度a1分析如下：
对m2沿斜面方向受力分析，有

\[T_1 − m+2gsinα = m_2a_1 \]

由于有绳约束，m1的加速度也为a1，则对其竖直方向受力分析，有

\[m_1g − T_1=m_1a_1 \]

联立两式消去拉力T：可得

\[a_1 = \frac {m_1g − m_2gsinα }{ m_1 + m_2 } = \frac { 2m_1 − m_2} { 2(m_1 + m_2)g } \]

\[同理，第二次物块运动的加速度a_2 \]

对m1沿斜面方向受力分析，有

\[T_2 − m_1gsinα = m_1a_2 \]

由于有绳约束，m2的加速度也为a2，则对其竖直方向受力分析，有

\[m_2g−T_2 = m_2a_2 \]

联立两式消去拉力T：可得

\[a_2 = \frac{ m_2g − m_1gsinα } { m_1+m_2} = \frac { 2m_2−m_1 } { 2(m_1+m_2)g } \]

以l表示斜面的长度，则依题述有运动学关系

\[l = \frac {1} {2}a_1t^2= \frac {1}{2} a_2( \frac {t}{3} )^2 \]

即得

\[9a_1=a_2 \]

，联立以上可解得

\[\frac {m_1}{m_2} = \frac {11}{19} \]

• 一个密度均匀的圆柱，质量为m，半径为R，放在两个等高的台阶上，台阶一个固定不动，一个可无摩擦地滑动，如图所示.
  
  当两支点的距离为2√R时，固定台阶对圆柱的支持力N，求此时可动台阶A的滑动速度.设所有摩擦均可忽略不计.
  滑动的台阶和圆柱之间有速度关联.在圆柱静止系中，可动台阶上与圆柱的接触点只有切向速度.圆柱和静止的台阶有速度，加速度关联.即圆柱质心只有垂直于圆心到接触点的连线的速度分量，向心加速度为

\[ \frac {v_0^2} {R} $$. 圆柱法向受力提供向心加速度，可以得到圆柱质心的速度，再用关联可以得到可动台阶的速度. 由分析，圆柱的质心O相对于固定点C作圆周运动，以v0表示其速度大小，则有重力分量与支持力之差提供向心力 $$ mv_0^2R = mgcos45°−N， \]

所以解得

\[v_0 = \sqrt{ \frac{ (\sqrt{2}mg - 2N)R }{ 2m } } \]

由于BC=2√R，圆柱绕固定点C圆周运动，故轮缘B点的速度有：

\[v_B = ω⋅\sqrt{2}R = \frac {v_0}{R}⋅\sqrt{2} R=\sqrt{2}v_0，v_B的方向垂直于BC向下. \]

\[vB即为轮缘B点对地的速度\vec{v}_{ B→G}，\vec{v}_{ A→B}必沿B点处圆弧切线方向，\vec{v}_{ A→G}必沿水平方向，且此三者应满足\vec{v}_{ A→G} = \vec{v}_{ A→B} + \vec{v}_{ B→C}， \]

\[即为图所示的关系，由图几何关系可见\vec{v}_{ A→G} = \vec{v}_{ B→G}，即 \]

\[v = v_B = \sqrt{2} v_0 = \sqrt{ \frac{ (\sqrt{2}mg - 2N)R } { m } } \]

感觉物理白学了

From： 质心教育.