LuoguP1063能量项链

Description：

在Mars星球上，每个Mars人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有N颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘（吸盘是Mars人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为m，尾标记为r，后一颗能量珠的头标记为r，尾标记为n，则聚合后释放的能量为m×r×n，新产生的珠子的头标记为m，尾标记为n。
需要时，Mars人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。
例如：设N=4，4颗珠子的头标记与尾标记依次为(2,3)(3,5)(5,10)(10,2)。我们用记号⊕表示两颗珠子的聚合操作，(j⊕k)表示第j,k两颗珠子聚合后所释放的能量。则第4、1两颗珠子聚合后释放的能量为：
(4⊕1)=10×2×3=60
这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为：
((4⊕1)⊕2⊕3）=10×2×3+10×3×5+10×5×10=710

Analysis：

与石子合并不同的是这道题要求乘积。还是把环转换成一条链，head[i] := 第i颗珠子的头标记，tail[i] := 第i颗珠子的尾标记，合并相邻两颗珠子所释放的能量为 Energy = head[i]tail[i]tail[i+1] 或者 Energy = head[i]head[i+1]tail[i+1]。合并时不一定要按照输入的顺序合并，与石子合并类似，第n次合并可以归结到第n-1次合并，具有明显的动态规划性质。以合并次数为阶段，dp[i][j] := 从第i颗珠子合并到第j颗珠子产生的最大能量，假设最后合并的位置为k，k + 1，则 dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i][k] + dp[k+1][j] + head[i]tail[k]tail[j]);初始化：dp[i][i] = 0，
ans = max{dp[1][n],dp[2][n+1] ... dp[n][2n-1]}，时间复杂度 $$ O(8n^3)。$$
https://www.cnblogs.com/Zforw/p/10610645.html

Code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define N 510
using namespace std;
int dp[N][N],head[N],tail[N],ans,n;
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 1;i <= n;++i){
        scanf("%d",&head[i]);
        head[i + n] = head[i];//环，首尾相接 
    }
    for(int i = 1;i < (n << 1);++i){
        tail[i] = head[i + 1];
        dp[i][i] = 0;
    }
    tail[n << 1] = head[1];
    // stage : times of merging
    for(int t = 1;t < n;++t){
        for(int i = 1;i <= (n << 1) - t;++i){
            int j = t + i;
            for(int k = i; k < j;++k){						// tail[k] = head[k+1]	
                dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i][k] + dp[k + 1][j] + head[i]*tail[k]*tail[j]);
            }
        }
    }
    for(int i = 1;i <= n << 1;++i) ans = max(ans,dp[i][i + n - 1]);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}