luoguP1463 [POI2002][HAOI2007]反素数

大意

对于任何正整数 \(x\)，其约数的个数记作 \(g(x)\)。例如 \(g(1)=1\)，\(g(6)=4\)。

如果某个正整数 \(x\) 满足：\(0 \lt i \lt x\)，都有 \(g(x) \gt g(i)\)，则称 \(x\) 为反质数。例如，整数 \(1,2,4,6\) 等都是反质数。

现在给定一个数 \(N\)，求出不超过 \(N\) 的最大的反质数。

题解

参考了黄东旭李煜东的蓝书，主要因为证明比较严谨（并不是在说老姚不严谨）。

• 引理1
  1~\(N\) 中最大的反素数，就是 1~\(N\) 中约数最多的数中最小的那一个。

证明：
设 \(x\) 为 1~\(N\) 中约数最多的数中最小的数，那么有：
\(\forall i, 0<i<x\)，有 \(g(i)<g(x)\)，说明 \(x\) 是一个反素数。
\(\forall i, x<i<N\)，有 \(g(i) \leq g(x)\)，说明大于 \(x\) 的都不是反素数。
故 \(x\) 即为所求。

• 引理2
  1~\(N\) 中任何数的不同的质因子都不会超过10个：因为最小的11个素数的乘积：\(2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 \times 13 \times 17 \times 19 \times 23 \times 29 \times 31\) 超过了 \(2 \times 10^9\)
  1~\(N\) 中任何数的质因子的指数之和也不会超过30，因为即使是只有最小的质因子2，\(2^{31}\) 也超过了 \(2 \times 10^9\)。（\(2^{31}-1\)是2147483647）

• 引理3
  \(\forall x\in [1,N]\)，\(x\)为反素数的必要条件是 \(x\) 可分解成 \(2^{c_1} \times 3^{c_2} \times 5^{c_3} \times ... \times 29^{c_{10}}\)，并且 \(c_1 \geq c_2 \geq ... \geq c_{10} \geq 0\)，简单地说就是 \(x\) 的质因子都是连续的，并且指数不上升（其实也就是指数单调递减，之所以说不上升是考虑到存在后面几个质因子指数都为0的情况。）。

首先为什么质因子必须是由小到大连续的，因为反素数的定义是与质因子的个数有关的，如果一个数分解出的质因子不连续，我们完全可以用空掉的那个因子替换掉后面的某个更大的因子，从而得到一个更小的数，而质因子的个数并不变，故该数不为反素数。举个例子：\(84=2^2 \times 3 \times 7\)，中间缺少了\(5\)，所以存在一个数\(60=2^2 \times 3 \times 5\)，60小于84，但约数的个数却与84相等，可以证明84不是一个反素数。

然后指数不上升也是同理，对于一个较大质因子的指数大于较小质因子的指数的数，在质因子个数不变的情况下，我们完全可以找到一个数，让它的小因子的指数较大而大因子的指数较小，从而使它的数值小于刚才的数，证得刚才的数并不是反素数。再举个例子：对于\(540=2^2 \times 3^3 \times 5\)，存在\(360=2^3 \times 3^2 \times 5\)，360小于540，但约数个数相等，说明540不是反素数。
蓝书上的对于该部分的说明可能不是很好理解，我觉得以上的解释可能帮助大家理解一下。

综上所述，思路就是用DFS枚举确定前10个质因子各自的指数\(c_i\)（\(c_i \in [0,30]\)），并且满足指数单调递减、总乘积不超过\(N\)，同时记录质因子个数。每找到一个符合条件的数就按照引理1的思路更新答案即可。

写完了...下面上代码...

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 50;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int prime[15]={0,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31};
inline int read(){
	int x = 0, w = 1;
	char ch;
	while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-')w = -1; ch = getchar();}
	while(ch >= '0' && ch <= '9') x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar();
	return x * w;
}
int n, mx, ans, s[maxn];
void Dfs(int x, int sum, int maxx){
	//x表示当前枚举到第几个质因子 
	//sum表示存在几个约数
	//maxx为当前的数值 
	if(x > 10) return;
	if(sum > mx || (sum == mx && maxx < ans)){
		mx = sum;
		ans = maxx;
	}
	s[x] = 0;//s[x]记录x位质因子的指数 
	while(maxx * prime[x] <= n && s[x] < s[x - 1]){
		s[x]++;
		maxx = maxx * prime[x];
		int w = sum * (s[x] + 1);
		Dfs(x + 1, w, maxx);
	}
}
signed main(){
	n = read();
	s[0] = 1000000;
	Dfs(1, 1, 1);
	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}