luoguP4397[JLOI2014] 聪明的燕姿

传送门

大意

给定一个 \(w\), 找到所有的 \(x\)，使得 \(x\) 的约数和等于 \(w\)。

题解

感觉好久没做过数学题了（本来就没做过几道），突然感觉自己跟废了一样，正好算着考试题把以前的东西捡一捡...

这道题用到的数学知识不多，就是算数基本定理跟约数和定理，下面简单说一下：

算数基本定理（唯一分解定理）

也可以写成

\[N={p_1}^{c_1} \times {p_1}^{c_2} \times ... \times {p_m}^{c_m} \]

约数和定理

也就是

\[Sum(N)=(p_1^0+p_1^1+...+p_1^{c_1}) \times (p_2^0+p_2^1+..+p_2^{c_2}) \times ... \times (p_n^0+p_n^1+..+p_n^{a_n}) \]

至于证明请自行百度...

分析

再剩下的就是暴力搜索了吧...其实跑的很快的说。

我们既然已经知道了 \(w\)，那么任务是找到 \(x\) ，对于 \(x\) 有 \(x={p_1}^{c_1} \times {p_1}^{c_2} \times ... \times {p_m}^{c_m}\) ，也就是说 \(w=(p_1^0+p_1^1+...+p_1^{c_1}) \times (p_2^0+p_2^1+..+p_2^{c_2}) \times ... \times (p_n^0+p_n^1+..+p_n^{a_n})\) 。所以，我们枚举每个素数 \(p_i\) 和每个素数的指数 \(0...c_i\) 来对 \(w\) 进行分解，每用完一个素数，就令答案记录 \(x\) 乘上 \({p_i}^{k}\) （\(k\) 不一定等于 \(c_i\)，\(k\) 是我们当前枚举到的指数），如果某一时刻 \(w\) 被分解到了1，那么此时的 \(x\) 就是一个答案。

注释感觉还是打的挺详细的

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define Game return
#define Over 0
const int maxn = 1e6 + 10;
long long prime[maxn], prime_cnt;
bool v[maxn];
void Prime(long long n){//素数筛，大家都会 
	for(int i = 2; i <= n; i++){
		if(!v[i]) prime[++prime_cnt] = i;
		for(int j = 1; j <= prime_cnt && i * prime[j] <= n; j++){
			v[i * prime[j]] = 1;
			if(i % prime[j] == 0) break;
		}
	}
}
bool Isprime(long long x){//快速判断一个数是不是素数 
	if(x == 1) return 0;
	if(x <= 100000){
		if(!v[x]) return 1;
		else return 0;
	}
	for(int i = 1; prime[i] * prime[i] <= x; i++)
		if(x % prime[i] == 0) return 0;
	return 1;
}
long long a[maxn], cnt;//记录答案 
void Dfs(int now, int p, int x){
    //now为w分解到现在的值，p表示选到第p个素数，x为w已分解出来的若干个pi的ai次方连乘 
	//now = 1说明已经分解完毕 
	if(now == 1){
		a[++cnt] = x;
		return ;
	}
	//下面是判断一种特殊情况，如果now-1为素数，有(now-1)的0次方加上(now-1)的1次方得now 
	if(Isprime(now - 1) && (now - 1) >= prime[p])
		a[++cnt] = x * (now - 1);
	
	for(int i = p; prime[i] * prime[i] <= now; i++){
		//进一步分解 
		long long pi = prime[i];//pi为prime[i]即第i个素数的若干次方 
		long long sum = prime[i] + 1;//sum为prime[i]的0次方+prime[i]的1次方+prime[i]的2次方... 
		while(sum <= now){
			if(now % sum == 0) Dfs(now / sum, i + 1, x * pi);
			pi *= prime[i];
			sum += pi;
		}
	}
}
int main(){
	long long w;
	//根据算数基本定理，我们不必去找所有约数，可以直接用素数
	//提高效率 
	Prime(100000);
	//理论上只要筛到根号下2e9即可，但多筛点没什么影响 
	while(~scanf("%lld", &w)){
		cnt = 0;
		Dfs(w, 1, 1);
		printf("%lld\n", cnt);
		sort(a + 1, a + 1 + cnt);
		for(int i = 1; i <= cnt; i++)
			printf("%lld ", a[i]);
		if(cnt) printf("\n");//这个地方很坑...如果不存在就只有一行0，不用再打空行了... 
	}
}