牛半仙的妹子Tree题解
题面
做法
先补一下ST表求LCA的做法。
欧拉序就是dfs遍历这颗树经过每个节点的顺序。
欧拉序有一个优美的性质，就是给定两个端点 \(l,r\) ，则 \([l,r]\) 之间深度最小值即是 \(l,r\) 的LCA。
我们 \(dfs\) 时需要统计 \(dep_u,dfn_u\) 以及欧拉序
如图，其欧拉序为1 5 6 5 1 2 4 2 3 2 1
比如6与4之间的最小值为1，显然该点就是这两点的LCA。
由于一个有儿子的点可能被经过不止一次，所以序列长度比 \(n\) 大很正常。
我们还需要一个dfn数组来统计每个节点第一次被经过的时间，当然这个时间戳依然可能比 \(n\) 大,所代表的就是其第一次在欧拉序中出现的位置。
对于上图，其dfn为1 6 9 7 2 3，两者的联系就在于\(dfn_i\) 代表的是对于节点 \(i\) 第一次出现在欧拉数组中的下标是 \(dfn_i\) 。
比如 \(dfn_2\) 为6，而其在欧拉序中首次出现的位置也是6。
欧拉序找LCA就是对于一个欧拉序数组，一组查询为 \(u,v\)，我们应当在 \([dfn_u,dfn_v]\) 间找深度最小值，ST表显然可以维护。
在建表时，由于欧拉序的性质，应当选择深度较小的，而不是简单的取min(st[i][j-1],st[i+(1<<(j-1))][j-1])。
在询问时，对于两个点 \(u,v\) ，先利用 \(dfn_u,dfn_v\) 找到在欧拉序中第一次出现的位置，然后再取深度较小点作为LCA。
再回到题目，不妨朴素的想，考虑每个点是否被染色，就要遍历上一次清零后的所有染色操作，设染色操作染了 \(x\)，询问点是 \(y\)，\(dis_{x,y}\) 表示两点距离, \(TIME_i\) 表示对于 \(i\) 点操作的时间，如果 \(dis_{x,y} \le TIME_{y}-TIME_{x}\) 那显然已经扩展到了。
考虑分块，由于操作是按时间顺序排序的，我们对于操作分块。
我们设块长为 \(len\) ，对于每个块内的染色操作，我们直接暴力判断，即在一个块内从上一次清零时刻+1开始(可能本块没有，直接从左端点开始)。
还有一种情况，就是上一次清零在块外面（上面的情况已经保证统计到被块内染色的情况），如果我们能够知道该点是否被块外的染色操作染色，即可 \(O(1)\) 判断。
假设该块之前的都已经算完了，我们现在枚举染色时间，判断该块中的染色操作是否会更新要染的这个点的染色时间，因为如果当前染色操作的时间比该点被染色的时间还要晚，那显然不用更新，如果可以，将当前块的所有染色操作加入队列并更新被染点的时间。进行Bfs，如果染色操作会使某个点最早被染色时间更早就修改，否则不修改，枚举完时间后将队列中剩下的点继续扩展直到遍历整棵树。
这样复杂度是 \(O(n)\) 的。
块长为 \(len\) 块数为 \(m/len\) ,时间复杂度为 \(O(m/len \times (n + len^2))\)，\(len\) 取 \(\sqrt{n}\)，\(n,m\) 同阶即为 \(O(m \times \sqrt{n})\)。
code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define syt cerr<<"sytakioi"<<endl;
const int maxn=2e5+10,inf=0x3f3f3f3f;
struct node {
int nxt,to;
} edge[maxn<<1];
struct OP {
int op,x;
} op[maxn<<1];
int head[maxn<<1],cnt=0;
void add(int u,int v) {
cnt++;
edge[cnt].to=v;
edge[cnt].nxt=head[u];
head[u]=cnt;
}
int st[maxn<<1][30],fa[maxn<<1];
int tim[maxn],l[maxn],r[maxn];
int n,m,num=0;
int dep[maxn<<1],rl[maxn<<1],dfn[maxn<<1];
void dfs(int u,int fath) {
rl[++num]=u;
dep[u]=dep[fath]+1;
dfn[u]=num;
fa[u]=fath;
for(int i=head[u]; i; i=edge[i].nxt) {
int v=edge[i].to;
if(v==fath) continue ;
dfs(v,u);
rl[++num]=u;
}
}
int lca(int x,int y) {
int u=dfn[x],v=dfn[y];
if(u>v)
swap(u,v);
int len=log2(v-u+1);
int uu=st[u][len],vv=st[v-(1<<len)+1][len];
if(dep[uu]<dep[vv])
return uu;
else
return vv;
}
int dis(int u,int v) {
return dep[u]+dep[v]-2*dep[lca(u,v)];
}
int s;
int main() {
cin>>n>>m;
for(int i=1; i<n; i++) {
int u,v;
cin>>u>>v;
add(u,v),add(v,u);
}
dfs(1,0);
// for(int i=1; i<=n; i++)
// cout<<dfn[i]<<" ";
// cout<<endl;
// for(int i=1; i<=num; i++)
// cout<<rl[i]<<" ";
memset(tim,inf,sizeof(tim));
for(int i=1; i<=num; i++)
st[i][0]=rl[i];
for(int j=1; j<=log2(num); j++) {
for(int i=1; i+(1<<j)-1<=num; i++) {
int u=st[i][j-1],v=st[i+(1<<(j-1))][j-1];
if(dep[u]<dep[v])
st[i][j]=u;
else
st[i][j]=v;
}
}
for(int i=1; i<=m; i++) {
cin>>op[i].op>>op[i].x;
}
int len=sqrt(n);
int blocks=m/len;
if(blocks*len<m)blocks++;
for(int i=1; i<=blocks; i++) {
l[i]=len*(i-1)+1,r[i]=len*i;
}
r[blocks]=m;
int gc=0;
queue<int> q;
//for(int i=1; i<=blocks; i++)
// cout<<" bl: "<<l[i]<<" "<<r[i]<<endl;
for(int i=1; i<=blocks; i++) {
//syt
// for (int j = 1; j <= n; j++) {
// cout<<tim[j]<<" ";
// }
// cout<<endl;
for(int j=l[i]; j<=r[i]; j++) {
//syt
if(op[j].op==1) continue;
else if(op[j].op==2) gc=j;
else {
bool flag=0;
for(int k=max(gc+1,l[i]); k<=j-1; k++)
if(op[k].op==1 && j-k>=dis(op[k].x,op[j].x)) {
flag=1;
break;
}
//cout<<flag;
if(gc<l[i] && tim[op[j].x]<=j) flag=1;
//syt
if(flag==1) {
cout<<"wrxcsd"<<endl;
} else
cout<<"orzFsYo"<<endl;
}
}
while(!q.empty())
q.pop();
if(gc>=l[i])
for(int j=1; j<=n; j++)
tim[j]=inf;
for(int j=max(gc+1,l[i]); j<=r[i]; j++) {
if(op[j].op==1 && j<tim[op[j].x])
tim[op[j].x]=j,q.push(op[j].x);
while(!q.empty()) {
int u=q.front();
if(tim[u]>j)break;
q.pop();
for(int I=head[u]; I; I=edge[I].nxt) {
int v=edge[I].to;
if(tim[v]>tim[u]+1) {
tim[v]=tim[u]+1;
q.push(v);
}
}
if(tim[fa[u]]>tim[u]+1 && fa[u]) {
tim[fa[u]]=tim[u]+1;
q.push(fa[u]);
}
}
}
while(!q.empty()) {
int u=q.front();
q.pop();
for(int I=head[u]; I; I=edge[I].nxt) {
int v=edge[I].to;
if(tim[v]>tim[u]+1) {
tim[v]=tim[u]+1;
q.push(v);
}
}
if(tim[fa[u]]>tim[u]+1 && fa[u]) {
tim[fa[u]]=tim[u]+1;
q.push(fa[u]);
}
}
}
return 0;
}
//
/*
6 5
1 2
2 3
2 5
1 4
4 6
*/
