行列式

行列式

主要介绍一下行列式定义以及行列式的求法

行列式定义

一个2阶行列式可记做 \(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\)

可简略的表达成：$$\left|\begin{array}
​ a_{11} & a_{12} \
​ a_{21} & a_{22}
\end{array}\right|$$

令 \(A=\left[\begin{array}\ ​ a_{11} & a_{12} \\ ​ a_{21} & a_{22} \end{array}\right]\) ，则2阶行列式也可被称作二级矩阵A的行列式，记作 |A| 或 det(A).

那么n阶行列式 $$ \left|\begin{array}
​ a_{11} & a_{12} &...&a_{1n} \
​ a_{21} & a_{22} &\cdots &a_{2n} \\vdots & \vdots & &\vdots \ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{array}\right|$$ 可以抽象为 $$\sum \limits {j_1j_2...j_n} (-1)^{\tau(j_1j_2...j_n)}aa_{2j_2}...a_{nj_n}$$

其中\(\sum \limits _{j_1j_2...j_n}\)表示所有的排列 ，\(\tau(j_1j_2...j_n)\)表示序列逆序对的个数

n元排列

定义

n个不同的自然数的一个全排列成为n元排列

逆序对数为奇数的定义为奇排列，反之为偶排列

性质：交换两元素改变排列奇偶性

首先对于交换相邻的两个元素，那么逆序对个数会 +1 或 -1 ，那么就一定会改变奇偶性

然后对于不相邻元素，设一个为\(a_i\)，一个为 \(a_{i+k}\) 那么如果通过相邻交换，一共会交换 \(2\times k-1\) 次，可以证明这个次数也会改变排列奇偶性

行列式性质

性质1

已知一个矩阵A有一个唯一的行列式 det(A)

那么交换矩阵的任意两行 (或两列) 会改变对应排列的奇偶性 [根据n元排列的性质]

设交换后的矩阵为B，则 det(B)=-det(A)

性质2

\[\left|\begin{array}\ ​ a_{11} & a_{12} &...&a_{1n} \\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ ​ a_{i1} & a_{i2} &\cdots &a_{in} \\\vdots & \vdots & &\vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right| =\left|\begin{array}\ ​ a_{11} & a_{12} &...&a_{1n} \\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ ​ a_{i1}+k\times a_{j1} & a_{i2}+k\times a_{j2} &\cdots &a_{in} +k\times a_{jn} \\\vdots & \vdots & &\vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right| \]

性质3

对于矩阵 A形如 $$ \left[\begin{array}
​a_{11} & a_{12} &a_{13} &...&a_{1n} \
0 & a_{22} &a_{23} &\cdots &a_{2n} \0 & 0 &a_{33}& \cdots & a_{3n} \\vdots & \vdots &\vdots & &\vdots \0 & 0 & 0& \cdots & a_{nn}
\end{array}\right]$$ ，即下半部分都没有值，易得 det(A)= \(\prod \limits _{i=1}^{n} a_{ii}\)

行列式求法

现在已知一个矩阵A，如何求它的行列式呢 ?

尝试把A化作上面所述的下半部分没有值的矩阵(设为B)，因为B的行列式是可以轻松知道的 [性质3]

然后可以通过加上某一列或者减去某一列再乘上一些系数使得 A 转变为 B (类似高斯消元) [性质2]

但是这个过程可能存在交换行的操作，所以要时刻维护一个系数(为+1或-1)，表示真实答案是否为其相反数 [性质1]

实现代码(对P取模意义下的实现)

struct Mat{
    int A[255][255],n;
    int Det(){
        int f=0,ans=1;
        FOR(i,1,n){
            int p=0;
            FOR(j,i,n)if(A[j][i]){p=j;break;}
            if(!p)return 0;
            if(p!=i){
                f^=1;
                FOR(j,i,n)swap(A[p][j],A[i][j]);
            }
            FOR(j,i+1,n){
                int t=(LL)A[j][i]*fast(A[i][i],P-2)%P;
                FOR(k,i,n)A[j][k]=(A[j][k]-(LL)A[i][k]*t)%P;
            }
            ans=(LL)ans*A[i][i]%P;
        }
        if(f)ans=-ans;
        return (ans+P)%P;
    }
}Mat;